[论文解读] Differential Geometry of Relative Gerbes

Zohreh Shahbazi|ArXiv.org|May 12, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文为流形间光滑映射引入了相对主丛，建立了其微分几何，并通过三阶相对整上同调分类其等价类。证明了具有群值矩量映射的拟哈密顿 G-空间的预量子化，等价于通过环路群构造对应的哈密顿 LG-空间的预量子化，利用相对主丛与联络实现德拉姆上同调的几何化。

ABSTRACT

This thesis introduces the notion of "relative gerbes" for smooth maps of manifolds, and discusses their differential geometry. The equivalence classes of relative gerbes are classified by the relative integral cohomology in degree three. Furthermore, by using the concept of relative gerbes, the pre-quantization of Lie group-valued moment maps is developed, and its equivalence with the pre-quantization of infinite-dimensional Hamiltonian loop group spaces is established.

研究动机与目标

• 为流形间光滑映射上的相对主丛建立微分几何框架。
• 利用三阶相对整上同调对相对主丛的等价类进行分类。
• 使用相对主丛建立具有群值矩量映射的拟哈密顿 G-空间的预量子化理论。
• 通过环路群构造，证明有限维拟哈密顿 G-空间与无限维哈密顿 LG-空间之间预量子化的等价性。
• 显式构造相对主丛，包括 SU(n) 上的基本主丛，并将其与已知的几何与拓扑不变量联系起来。

提出的方法

• 将相对主丛定义为在目标流形上的主丛，配备其在光滑映射 Φ: M → N 下拉回主丛的拟线丛。
• 通过 H³(Φ, ℤ)，即映射 Φ 的三阶相对整上同调，刻画相对主丛等价类的群。
• 引入相对联络、相对曲率、相对Cheeger-Simons示性类及相对holonomy，用于相对主丛。
• 证明闭的相对3-形式是带有联络的相对主丛的曲率，当且仅当其为整类，从而实现相对上同调的几何化。
• 通过环路空间映射 LΦ: LM → LN，从带有联络的相对主丛构造出带有联络的相对线丛。
• 证明带有联络的相对主丛的等价类群几何地实现二阶相对德拉姆上同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 主丛如何推广到流形间光滑映射的相对设定？其分类的上同调不变量是什么？
• RQ2 相对主丛的微分几何结构（包括联络、曲率与holonomy）为何？
• RQ3 能否使用相对主丛来表述具有群值矩量映射的拟哈密顿 G-空间的预量子化？
• RQ4 有限维拟哈密顿 G-空间与无限维哈密顿 LG-空间之间是否存在预量子化的几何对应？
• RQ5 SU(n) 上基本主丛及其倍数的显式构造，如何与已知的有限维模型相关联？

主要发现

• 光滑映射 Φ: M → N 上相对主丛的等价类群同构于三阶相对整上同调群 H³(Φ, ℤ)。
• 闭的相对3-形式是带有联络的相对主丛的曲率，当且仅当其为整类，从而实现相对上同调的几何化。
• 带有联络的相对主丛通过映射 LΦ: LM → LN 在环路空间上诱导出带有联络的相对线丛。
• 带有联络的相对主丛的等价类群为二阶相对德拉姆上同调提供了一个几何模型。
• 通过相对主丛构造 SU(n) 上的基本主丛，等价于 Gawedzki 与 Reis 的有限维构造。
• 具有群值矩量映射的拟哈密顿 G-空间的预量子化，与对应哈密顿 LG-空间的预量子化之间存在一一对应，该对应由环路群等价定理所建立。