[论文解读] Differential Invariants and Application to Riccati-Type Systems

Roman O. Popovych, V. Boyko|ArXiv.org|Dec 24, 2001

Nonlinear Waves and Solitons被引用 7

一句话总结

本文将李氏经典微分不变量理论推广至作用于任意数量自变量与因变量系统的单参数群。证明了在给定一个普遍不变量的前提下，仅通过一次积分与重复微分即可构造出一组完整的函数独立微分不变量，并将该框架应用于显式积分Riccati型系统。

ABSTRACT

We generalize the classical Lie results on a basis of differential invariants for a one-parameter group of local transformations to the case of arbitrary number of independent and dependent variables. It is proved that if universal invariant of a one-parameter group is known then a complete set of functionally independent differential invariants can be constructed via one quadrature and differentiations. Some applications of first-order differential invariants to Riccati-type systems are also presented.

研究动机与目标

• 将李氏经典微分不变量理论推广至作用于任意数量自变量与因变量系统的单参数群。
• 建立一种构造方法，仅通过一次积分与微分即可生成一组完整的函数独立微分不变量。
• 探讨微分不变量理论与Riccati型系统可积性之间的联系。
• 利用不变量框架，为某些类Riccati型系统提供显式积分公式。

提出的方法

• 引入一个作用于 $ n $ 个自变量与 $ m $ 个因变量的单参数群的 $ m+n-1 $ 阶普遍不变量 $ I $。
• 利用 $ I $ 与方程 $ QJ = 1 $ 的解 $ J $ 构造变量变换，将向量场转化为 $ rac{\tau}{\tau y_n} $，从而简化延长群作用的结构。
• 推导出一组基本微分不变量 $ (\tilde{y}, v_{(r)}) $，其中 $ \tilde{y} $ 为基空间的不变量，$ v_{(r)} $ 为新变量下的喷射坐标。
• 利用所得的不变量结构，通过涉及单次积分的有理变换，推导出Riccati型系统的通解公式。
• 将该方法应用于 $ n=1 $，$ m=2 $ 的具体例子，利用确定方程 $ QJ = 1 $ 的显式解，构造相关Riccati系统的通解。
• 在新坐标下利用不变量微分算子，将通解表示为不变量及其导数的有理函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 李氏关于微分不变量有限基的经典结果能否推广至作用于任意数量自变量与因变量系统的单参数群？
• RQ2 在给定普遍不变量的前提下，是否能够仅通过一次积分与微分构造出一组完整的函数独立微分不变量？
• RQ3 微分不变量理论如何应用于Riccati型方程组的积分？
• RQ4 由单参数群作用导出的Riccati型系统的通解具有何种结构？
• RQ5 Riccati型系统的通解在何种条件下可表示为不变量与积分的有理函数？

主要发现

• 对于作用于 $ n $ 个自变量与 $ m $ 个因变量的单参数群，若给定一个普遍不变量，则仅通过一次积分与重复微分即可构造出一组完整的函数独立微分不变量。
• 在新坐标 $ (y, v) $ 下，延长群作用简化为 $ \frac{\tau}{\tau y_n} $，从而可系统地从 $ \tilde{y} $ 与 $ v_{(r)} $ 构造不变量。
• 对于由群作用导出的Riccati型系统，其通解显式地由包含不变量与单次积分 $ J $ 的有理表达式给出，如公式 (8) 及示例所示。
• 在例1中，Riccati方程 $ \frac{du_x}{dx} = -\frac{1}{Cx^k}u_x^2 + \frac{2(k-1)}{x}u_x + kCx^{k-2} $ 的解为 $ u_x = Cx^{k-1}\big(k - \frac{k+1}{1 + \tilde{C}x^{k+1}}\big) $（当 $ k \neq -1 $ 时），以及 $ u_x = -\frac{C}{x^2}\big(1 + \frac{1}{\tilde{C} - \bar{\nu}}\big) $（当 $ k = -1 $ 时）。
• 在例4中，两分量Riccati系统的解为 $ \begin{pmatrix} u_x^1 \\ u_x^2 \\ ight) = \text{exp}(x)\begin{pmatrix} C^1 \\ C^2 \\ ight) + \frac{(C^1 + C^2)\text{exp}(2x)J}{1 - (\tilde{C}^1 + \tilde{C}^2)(\text{exp}(x) - (C^1 + C^2)^{-1})J}\begin{pmatrix} \tilde{C}^1 \\ \tilde{C}^2 \\ ight) $，其中 $ J $ 为一次积分。
• 在例5中，解表示为 $ \begin{pmatrix} u_x^1 \\ u_x^2 \\ ight) = \begin{pmatrix} -C^1\text{sin}x + C^2\text{cos}x \\ -C^1\text{cos}x - C^2\text{sin}x \\ ight) + \frac{\text{exp}(- (C^1 + C^2)\text{cos}x - (C^2 - C^1)\text{sin}x)}{1 - \tilde{C}^1 J_{C^1} - \tilde{C}^2 J_{C^2}} \begin{pmatrix} \tilde{C}^1\text{cos}x + \tilde{C}^2\text{sin}x \\ -\tilde{C}^1\text{sin}x + \tilde{C}^2\text{cos}x \\ ight) $，其中 $ J $ 通过积分计算得出。