[论文解读] Differentially Private Secure Multiplication: Beyond Two Multiplicands

Haoyang Hu, Viveck R. Cadambe|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2026

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一句话总结

本文在分布式设置中将差分隐私安全乘法扩展到 M 个参与因子的乘积，提供 DP 隐私保障以及在节点数少于 M T + 1 的情形下的紧致隐私–准确性权衡。

ABSTRACT

We study the problem of differentially private (DP) secure multiplication in distributed computing systems, focusing on regimes where perfect privacy and perfect accuracy cannot be simultaneously achieved. Specifically, N nodes collaboratively compute the product of M private inputs while guaranteeing epsilon-DP against any collusion of up to T nodes. Prior work has characterized the fundamental privacy-accuracy trade-off for the multiplication of two multiplicands. In this paper, we extend these results to the more general setting of computing the product of an arbitrary number M of multiplicands. We propose a secure multiplication framework based on carefully designed encoding polynomials combined with layered noise injection. The proposed construction generalizes existing schemes and enables the systematic cancellation of lower-order noise terms, leading to improved estimation accuracy. We explore two regimes: (M-1)T+1 <= N <= MT and N = T+1. For (M-1)T+1 <= N <= MT, we characterize the optimal privacy--accuracy trade-off. When N = T+1, we derive nontrivial achievability and converse bounds that are asymptotically tight in the high-privacy regime.

研究动机与目标

• 在完美隐私和准确性无法同时实现时，动机化在差分隐私下对 M 个私有输入的乘积进行安全计算。
• 开发基于 DP 的安全乘法框架，使用编码多项式和分层噪声以实现节点有限的一轮协议。
• 表征在 (M−1)T+1 ≤ N ≤ MT 以及 N = T+1 的情形下的隐私–准确性权衡，包括可实现性和对立界限。
• 给出具建构性的方案设计和不可行性界限，在高隐私性情形下取得渐近最紧的结果。

提出的方法

• 使用精心设计的多项式对输入进行编码并分层噪声，以实现低阶噪声项的抵消。
• 将输出建模为节点输出的线性解码器，以实现一轮 DP-安全乘法。
• 通过阶梯机制的方差 σ*(ε)^2 和信噪比 SNR*(ε) = η/σ*(ε)^2，利用 T-节点 ε-DP 来量化隐私。
• 对 (M−1)T+1 ≤ N ≤ MT 和 N = T+1 的情形证明可实现性，推导 LMSE 下界/上界。
• 从 M=2 扩展到一般 M 因子，给出关于噪声抵消的几何与 MMSE 基于解释。
• 与复数值 Shamir 机密分享及独立 DP 噪声基线进行比较，显示改进的 LMSE。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 T-对齐节点下，M 个因子的安全乘法的差分隐私下的最优隐私–准确性权衡是什么？
• RQ2 如何设计在 MT+1 节点以下也能工作的 DP 机制来乘 M 输入，特别是在 (M−1)T+1 ≤ N ≤ MT 与 N = T+1 的情形？
• RQ3 分层噪声与多项式编码如何实现噪声项的抵消以提升估计精度？
• RQ4 在高隐私性情形 ε → 0 的可实现性界和对立界，所考虑的情形的 LMSE 和反向界限是什么？
• RQ5 与现有基线相比在 LMSE 方面该方案的表现如何？

主要发现

• 对于 (M−1)T+1 ≤ N ≤ MT，LMSE 的下界为 η^M/(1+SNR*(ε))^M，并可与匹配的方案实现，推广了先前 M=2 的结果。
• 当 N=T+1 且 N< M 时，存在可构造的 DP 机制，可实现的 LMSE 给出为 η^M[(1+SNR*(ε))^M−M SNR*(ε)^{M−1}−SNR*(ε)^M]/(1+SNR*(ε))^M + ξ，存在与下界的匹配，存在一个差距。
• 对于 M=3, N=3, T=1，方案的 LMSE 约为 1/(1+1/σ^2)^3，将两乘法的结果推广到三乘法。
• 对于 M=3, N=5, T=2，可实现的 LMSE 仍为 1/(1+1/σ^2)^3，与定理13一致，显示该方案对 MT+1 以上节点的鲁棒性。
• 高隐私性渐近性表明界限是紧致的，随着 SNR*(ε) → 0，存在趋近于 1 的乘法差距。
• 与复数值 Shamir 机密分享和独立噪声基线相比，所提出的方案在 LMSE 上始终优于两个基线。