[论文解读] Diffusion and superdiffusion from hydrodynamic projection

Benjamin Doyon|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2019

Quantum many-body systems参考文献 40被引用 23

一句话总结

本文将流体动力学投影方法从欧拉尺度扩展至扩散与超扩散输运，适用于一维多体系统。通过构建广义守恒密度的可观测量希尔伯特空间，利用双线性荷与分数次广义可观测量，推导出扩散与超扩散指数的精确下界，重现了非线性涨落流体动力学中已知的KPZ与Lévy指数。

ABSTRACT

Hydrodynamic projections, the projection onto conserved charges representing ballistic propagation of fluid waves, give exact transport results in many-body systems, such as the exact Drude weights. Focussing one one-dimensional systems, I show that this principle can be extended beyond the Euler scale, in particular to the diffusive and superdiffusive scales. By hydrodynamic reduction, Hilbert spaces of observables are constructed that generalise the standard space of conserved densities and describe the finer scales of hydrodynamics. The Green-Kubo formula for the Onsager matrix has a natural expression within the diffusive space. This space is associated with quadratically extensive charges, and projections onto any such charge give generic lower bounds for diffusion. In particular, bilinear expressions in linearly extensive charges lead to explicit diffusion lower bounds calculable from the thermodynamics, and applicable for instance to generic momentum-conserving one-dimensional systems. Bilinear charges are interpreted as covariant derivatives on the manifold of maximal entropy states, and represent the contribution to diffusion from scattering of ballistic waves. An analysis of fractionally extensive charges, combined with clustering properties from the superdiffusion phenomenology, gives lower bounds for superdiffusion exponents. These bounds reproduce the predictions of nonlinear fluctuating hydrodynamics, including the Kardar-Parisi-Zhang exponent 2/3 for sound-like modes, the Levy-distribution exponent 3/5 for heat-like modes, and the full Fibonacci sequence.

研究动机与目标

• 将流体动力学投影方法从欧拉尺度推广，以描述一维多体系统中扩散与超扩散输运行为。
• 构建广义守恒密度的可观测量希尔伯特空间，以描述更精细的流体动力学尺度。
• 提出一个系统性框架，利用热力学数据与投影技术，推导扩散与超扩散指数的下界。
• 将线性广义荷中的双线性表达式与扩散联系起来，通过扩散希尔伯特空间中的格林-库伯公式实现。
• 利用分数次广义荷与超扩散现象学中的聚类性质，推导超扩散指数的上界。

提出的方法

• 引入流体动力学约化程序，以构建广义守恒密度空间的可观测量希尔伯特空间，适用于扩散与超扩散尺度。
• 将扩散希尔伯特空间定义为与二次广义荷相关联，从而自然表达昂萨格矩阵的格林-库伯公式。
• 使用线性广义荷中的双线性表达式作为投影，产生扩散的通用下界，可解释为最大熵态流形上的协变导数。
• 分析标度指数介于0与1之间的分数次广义荷，以探测超扩散行为，并推导超扩散指数的上界。
• 应用超扩散现象学中的聚类性质，约束关联函数的标度行为，从而推导指数上界。
• 结合热力学数据与投影形式，计算无需依赖微观细节的扩散与超扩散指数的显式下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 流体动力学投影能否被扩展至欧拉尺度之外，以描述一维系统中的扩散与超扩散输运？
• RQ2 双线性荷在生成扩散下界中起什么作用？它们与最大熵态流形几何有何关联？
• RQ3 如何利用分数次广义荷推导超扩散指数的严格下界？
• RQ4 所推导的下界是否能重现非线性涨落流体动力学中的已知指数，如2/3（KPZ）与3/5（Lévy）？
• RQ5 格林-库伯公式与通过流体动力学约化构建的扩散希尔伯特空间之间有何联系？

主要发现

• 由二次广义荷构建的扩散希尔伯特空间，为表达昂萨格矩阵的格林-库伯公式提供了自然框架。
• 线性广义荷中的双线性表达式，可产生显式的、基于热力学计算的扩散下界，适用于一般动量守恒的一维系统。
• 这些双线性荷被解释为最大熵态流形上的协变导数，代表了弹道波对扩散的散射贡献。
• 结合聚类性质的分数次广义荷，可推导出超扩散指数的严格下界，重现声模式的卡达尔-帕里斯-祖普拉指数2/3。
• 同一框架亦重现了热模式的Lévy分布指数3/5，并预测了超扩散区域中完整的斐波那契指数序列。
• 所推导的下界在模型无关的意义上是精确的，仅基于热力学数据与对称性原理，无需依赖微观细节。