[论文解读] Dimension reduction for Gaussian process emulation: an application to the influence of bathymetry on tsunami heights

Xiaoyu Liu, Serge Guillas|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2016

Gaussian Processes and Bayesian Inference参考文献 26被引用 7

一句话总结

本文提出了一种联合框架，将基于梯度的核降维（gKDR）与高斯过程模拟相结合，以高效处理高维输入模拟器（如具有不确定海底地形的海啸模型）。通过在保留关键输入-输出关系的同时降低输入维度，该方法显著减少了模拟器运行次数，实现了高精度的不确定性量化，在考虑真实海底地形不确定性影响的海啸灾害评估中表现出优越性能。

ABSTRACT

High accuracy complex computer models, or simulators, require large resources in time and memory to produce realistic results. Statistical emulators are computationally cheap approximations of such simulators. They can be built to replace simulators for various purposes, such as the propagation of uncertainties from inputs to outputs or the calibration of some internal parameters against observations. However, when the input space is of high dimension, the construction of an emulator can become prohibitively expensive. In this paper, we introduce a joint framework merging emulation with dimension reduction in order to overcome this hurdle. The gradient-based kernel dimension reduction technique is chosen due to its ability to drastically decrease dimensionality with little loss in information. The Gaussian process emulation technique is combined with this dimension reduction approach. Our proposed approach provides an answer to the dimension reduction issue in emulation for a wide range of simulation problems that cannot be tackled using existing methods. The efficiency and accuracy of the proposed framework is demonstrated theoretically, and compared with other methods on an elliptic partial differential equation (PDE) problem. We finally present a realistic application to tsunami modeling. The uncertainties in the bathymetry (seafloor elevation) are modeled as high-dimensional realizations of a spatial process using a geostatistical approach. Our dimension-reduced emulation enables us to compute the impact of these uncertainties on resulting possible tsunami wave heights near-shore and on-shore. We observe a significant increase in the spread of uncertainties in the tsunami heights due to the contribution of the bathymetry uncertainties. These results highlight the need to include the effect of uncertainties in the bathymetry in tsunami early warnings and risk assessments.

研究动机与目标

• 为解决高维模拟器模拟的计算不可行性，特别是在具有不确定海底地形的海啸建模中。
• 开发一种联合降维与模拟框架，在大幅降低计算成本的同时保持高精度。
• 实现在输入维度超过20的复杂模拟器中实用的不确定性量化，例如具有空间变化边界条件的地球物理模型。
• 在具有高维海底地形不确定性的实际海啸模拟问题上，验证该方法的有效性。

提出的方法

• 该方法采用基于梯度的核降维（gKDR）识别高维输入空间中的低维子空间，以捕捉模拟器输出的大部分变异性。
• gKDR 构建一个投影矩阵 B，将原始高维输入 X 映射到低维活跃子空间 B^T X，同时保留响应 Y 所需的充分信息。
• 随后在降维后的输入上训练高斯过程（GP）模拟器，实现在新输入点上对模拟器输出的快速且具有概率性的预测。
• 该框架使用交叉验证选择最优超参数和训练集大小，确保鲁棒性与收敛性。
• 该方法通过利用基于核的估计避免显式计算梯度，使其适用于梯度难以计算的模拟器。
• 该方法在基于PDE的椭圆问题上进行了验证，并应用于具有不确定海底地形和地震源参数的真实海啸模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过gKDR进行降维是否能有效降低高维模拟器的输入维度，同时保持预测精度的显著损失？
• RQ2 与现有模拟与降维方法相比，所提出的gKDR-GP框架在预测性能和计算效率方面表现如何？
• RQ3 包含海底地形不确定性在多大程度上影响近岸预测海啸波高分布？
• RQ4 该框架能否在梯度不可用或计算成本过高的真实模拟器中高效应用？
• RQ5 在降维后，实现稳定且精确模拟所需的最少模拟器运行次数是多少？

主要发现

• 所提出的gKDR-GP框架仅需约100次训练模拟即可实现高精度模拟，预测误差在此样本量下趋于稳定并保持平坦。
• 包含海底地形不确定性显著扩大了预测海啸波高的分布范围，尤其是在近岸区域，导致更极端的事件和偏态分布。
• 与固定海底地形情景相比，在近岸测站处，当包含海底地形不确定性时，预测波高分布发生偏移且分布范围更广。
• 在梯度不可用或难以计算的情况下，该方法在处理高维输入方面优于现有方法。
• 该框架可高效实现复杂模拟器（如海啸模型）中的不确定性量化，适用于具有真实空间相关输入不确定性的场景。
• 预测误差随训练集大小变化的诊断图显示误差稳定收敛，支持在实际应用中采用小而精心设计的实验方案。