[论文解读] Dirac equation for quasi-particles in graphene in an external electromagnetic field and chiral anomaly

Riazuddin|arXiv (Cornell University)|May 30, 2011

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用 3

一句话总结

本文推导了在外部电磁场作用下石墨烯中无质量准粒子的狄拉克方程，建立了无需 $\gamma^5$ 矩阵的 (1+2) 维手征异常。研究表明，轴向电流散度源于费曼三角图的量子修正，得到的异常与 $\frac{e^2}{16\pi}(\text{符号 }m)\epsilon^{\mu\nu\rho}(k_1 - k_2)_\rho$ 成正比，其依赖于质量调节器的符号，类似于 (3+1) 维中的 Adler-Bell-Jackiw 异常，但受时空维度的修正。

ABSTRACT

There is evidence for existence of massless Dirac quasi-particles in graphene, which satisfy Dirac equation in (1+2) dimensions near the so called Dirac points which lie at the corners at the graphene's brilluoin zone. It is shown that parity operator in (1+2) dimensions play an interesting role and can be used for defining conserved chiral currents [there is no gamma^5 in (1+2) dimensions]. It is shown that the "anomalous" current induced by an external gauge field can be related to the anomalous divergence of an axial vector current which arises due to quantum radiative corrections provided by triangular loop Feynman diagrams in analogy with the corresponding axial anomaly in (1+3) dimensions.

研究动机与目标

• 在外部电磁场存在下，推导石墨烯在狄拉克点附近准粒子的狄拉克方程形式。
• 探讨在 (1+2) 维中宇称与手征对称性的作用，其中 $\gamma^5$ 不存在，但手征流仍可定义。
• 研究石墨烯中的轴向异常，作为源自三角形圈图的量子效应，类比于 (3+1) 维中的 Adler-Bell-Jackiw 异常。
• 使用维数正则化计算轴向流 $\partial_\mu J_5^\mu$ 的散度，并确定其对质量调节器符号的依赖性。
• 将理论异常与可观测物理量（如电场和磁场）以规范不变的方式联系起来。

提出的方法

• 使用对应于两个狄拉克点 $\mathbf{K}$ 和 $\mathbf{K}'$ 的两个非等价 $\gamma$-矩阵表示，在 (1+2) 维中构造狄拉克方程。
• 引入场重新定义 $\psi_A = \psi_+$，$\psi_B = i\gamma^2\psi_-$，将拉格朗日量写成两个具有 $U_A(1) \otimes U_B(1)$ 对称性的狄拉克型项之和。
• 从 $\psi_A$ 和 $\psi_B$ 场构造轴向流与矢量流，定义 $J_\pm^\mu = \frac{1}{2}(\overline{\psi}_A\gamma^\mu\psi_A \pm \overline{\psi}_B\gamma^\mu\psi_B)$ 以表示手征流。
• 使用包含质量狄拉克费米子作为调节器的一圈三角费曼图计算轴向流散度 $\partial_\mu J_5^\mu$。
• 在 $d=3$ 维中应用维数正则化以计算圈积分，得到与 $\epsilon^{\mu\nu\rho}k_{1\rho}$ 成正比的有限异常表达式。
• 在配置空间中推导出异常形式为 $\partial_\mu J_5^\mu = \frac{e^2}{16\pi}(\text{符号 }m)\epsilon^{\mu\nu\lambda}F_{\mu\nu}A_\lambda$，显示其对质量符号的依赖性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无 $\gamma^5$ 矩阵的 (1+2) 维中，手征异常如何表现，尽管手征对称性仍可定义？
• RQ2 在外部电磁场作用下，石墨烯中轴向流散度 $\partial_\mu J_5^\mu$ 的形式是什么，其来源于量子修正？
• RQ3 在 (1+2) 维中，异常如何依赖于质量调节器的符号，与 (3+1) 维情况相比有何不同？
• RQ4 石墨烯中的轴向异常能否用物理电场和磁场表示，规范选择如何影响结果？
• RQ5 狄拉克能隙 $\Delta$ 在异常中起什么作用，其与正则化方案中质量参数 $m$ 的关系如何？

主要发现

• 轴向流散度 $\partial_\mu J_5^\mu$ 与 $\frac{e^2}{16\pi}(\text{符号 }m)\epsilon^{\mu\nu\rho}(k_1 - k_2)_\rho$ 成正比，明确显示出对质量调节器符号的依赖性。
• 在 (1+2) 维中，异常与 $m$ 的大小无关，仅依赖于其符号，这与 (3+1) 维中异常与 $m$ 无关的情况形成对比。
• 在配置空间中，异常形式为 $\partial_\mu J_5^\mu = -\frac{e^2}{8\pi}(\text{符号 }m)B(\vec{E} \cdot \vec{r})$，在 $A_0 = 0$ 规范下成立，将其与电场和径向位置联系起来。
• 矢量流散度 $\partial_\mu J_3^\mu$ 同时依赖于 $m$ 和 $\text{符号}(m)$，在均匀磁场中为 $\partial_\mu J_3^\mu = \frac{e^2}{4\pi}(\text{符号 }m)mv_f B^2 r^2$。
• 异常表达式与石墨烯中狄拉克能隙 $\Delta$ 的存在一致，其中 $m = \Delta / v_f^2$，表明异常对能带结构的能隙敏感。
• 结果证实，石墨烯中的手征异常源于量子圈修正，且在规范变换下保持鲁棒，其结构类比于 Adler-Bell-Jackiw 异常，但受时空维度的修正。