[论文解读] Dirac's Observables for Yang-Mills Theory with Fermions

Luca Lusanna|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 1994

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 29被引用 15

一句话总结

该论文通过基于BRST算子的广义Hodge分解，利用辛解耦方法构造了包含费米子的规范场理论中狄拉克可观测量的规范形式。该方法识别出横向电场与磁场分量为物理可观测量，消除了格利博（Gribov）歧义，并推导出一个洛伦兹不变的非局部、非多项式哈密顿量与拉格朗日量，当强制满足威格纳（Wigner）协变性时成立。通过庞加莱（Poincaré）Casimir不变量，识别出一个与康普顿波长及自旋相关的经典固有长度尺度，为紫外截断提供了几何起源。

ABSTRACT

A canonical basis of global Dirac's observables for Yang-Mills theory with fermions are obtained in a functional space in which Gribov ambiguity is absent and Gauss' laws can be solved exactly. In terms of these observables, one can express the Lagrangian, the Hamiltonian, non-Abelian and topological charges. The problem of the covariantization of these non-local and non-polynomial quantities is solved. From a relativistic presymplectic approach to the localization of the relativistic center-of-mass of the field configuration, a ultraviolet cutoff is deduced.

研究动机与目标

• 构建杨-米尔斯理论中包含费米子的狄拉克可观测量的全局、辛化实现，避免规范固定与格利博歧义。
• 将尚穆加达萨南（Shanmugadhasan）正则变换框架扩展至经典相对论性场论，实现可观测量与规范自由度的全局分离。
• 在P² > 0且W² ≠ 0的场区中，识别出一个经典固有长度尺度，该尺度对应狄拉克与 Yukawa 所寻求的量子紫外截断。
• 以横向狄拉克可观测量重新表述物理拉格朗日量与哈密顿量，通过威格纳轨道确保与BRST对称性及庞加莱协变性的一致性。

提出的方法

• 在闵可夫斯基空间上构造协变散度的格林函数，以求解高斯定律约束，并定义依赖于连接的平凡主丛坐标系。
• 利用BRST算子实施广义Hodge分解，将规范势分解为纯规范部分（与BRST鬼场作为Maurer-Cartan形式相对应）与横向磁部分。
• 通过限制到丛的全局单位截面，将横向电场与磁场识别为狄拉克可观测量，构成物理自由度。
• 基于辛约化，完全解耦规范自由度，推导出以横向可观测量表示的非局部、非多项式物理哈密顿量与拉格朗日量。
• 通过分析时空或类光超曲面上的庞加莱轨道，强制实现威格纳协变性，使物理可观测量恢复洛伦兹不变性。
• 从庞加莱Casimir不变量中识别出一个经典不变长度尺度，其大小与场构型的康普顿波长乘以其自旋成正比。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不进行规范固定或格利博歧义的前提下，全局且无歧义地定义杨-米尔斯理论中包含费米子的狄拉克可观测量？
• RQ2 如何利用BRST形式化在辛框架中构造广义Hodge分解，以分离物理自由度与规范自由度？
• RQ3 量子场论中紫外截断的几何起源是什么？能否从经典庞加莱不变量中推导出该截断？
• RQ4 如何通过威格纳对相对论性系统的分类，在非协变哈密顿形式化中恢复洛伦兹不变性？
• RQ5 物理相空间能否被全局描述为约化配置空间上的余切丛，且可观测量构成达布基？

主要发现

• 该论文通过协变散度格林函数求解高斯定律约束，构建了杨-米尔斯理论中包含费米子的狄拉克可观测量的全局辛实现，完全避免格利博歧义。
• 基于BRST算子的广义Hodge分解将规范势分解为纯规范部分（与BRST鬼场作为Maurer-Cartan形式相对应）与横向磁分量。
• 通过限制到全局单位截面，横向电场与磁场被识别为狄拉克可观测量，构成物理自由度。
• 物理哈密顿量与拉格朗日量被推导为以这些横向可观测量表示的非局部、非多项式表达式，且规范自由度已完全解耦。
• 一个经典固有长度尺度被识别为在不可约庞加莱表示中，场构型的康普顿波长乘以其自旋，为紫外截断提供了几何起源。
• 通过在适当的类时或类光超曲面上利用威格纳对庞加莱轨道的分类重新表述理论，使洛伦兹不变性得以恢复，确保物理可观测量的协变性。