[论文解读] Direct and inverse scattering at fixed energy for massless charged Dirac fields by Kerr-Newman-de Sitter black holes

Thierry Daudé, François Nicoleau|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 60被引用 12

一句话总结

本文建立了在Kerr-Newman-de Sitter黑洞时空中的无质量带电狄拉克场的时间依赖波算符的存在性与渐近完备性，并将其与固定能量下的平稳散射矩阵联系起来。通过变量分离与复角动量技术，证明了仅凭单个能量下的散射矩阵即可唯一重构黑洞度规，从而解决了具有正宇宙学常数的旋转带电黑洞的逆散射问题。

ABSTRACT

In this paper, we study the direct and inverse scattering theory at fixed energy for massless charged Dirac fields evolving in the exterior region of a Kerr-Newman-de Sitter black hole. In the first part, we establish the existence and asymptotic completeness of time-dependent wave operators associated to our Dirac fields. This leads to the definition of the time-dependent scattering operator that encodes the far-field behavior (with respect to a stationary observer) in the asymptotic regions of the black hole: the event and cosmological horizons. We also use the miraculous property (quoting Chandrasekhar) - that the Dirac equation can be separated into radial and angular ordinary differential equations - to make the link between the time-dependent scattering operator and its stationary counterpart. This leads to a nice expression of the scattering matrix at fixed energy in terms of stationary solutions of the system of separated equations. In a second part, we use this expression of the scattering matrix to study the uniqueness property in the associated inverse scattering problem at fixed energy. Using essentially the particular form of the angular equation (that can be solved explicitely by Frobenius method) and the Complex Angular Momentum technique on the radial equation, we are finally able to determine uniquely the metric of the black hole from the knowledge of the scattering matrix at a fixed energy.

研究动机与目标

• 建立Kerr-Newman-de Sitter黑洞外部区域中无质量带电狄拉克场的直接散射理论。
• 通过狄拉克方程中的变量分离，将时间依赖散射算符与相应的平稳对应物联系起来。
• 在固定能量下求解逆散射问题，唯一地从散射矩阵确定黑洞度规。
• 将先前针对球对称黑洞（如Reissner-Nordström）的逆散射结果扩展至具有宇宙学常数的旋转带电黑洞。
• 证明单个能量下的散射矩阵包含足够信息以重构黑洞时空的完整几何结构。

提出的方法

• 利用Boyer-Lindquist坐标系中狄拉克方程可分离为径向与角向常微分方程的性质。
• 应用H-光滑性方法与波算符理论，证明时间依赖波算符的存在性与渐近完备性。
• 通过分离后的径向与角向方程的平稳解构造固定能量下的散射矩阵。
• 采用Frobenius方法显式求解角向方程，利用其特殊结构。
• 对径向方程应用复角动量技术，以提取谱信息。
• 通过分析散射矩阵的解析结构，证明逆问题解的唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在Kerr-Newman-de Sitter时空中构造时间依赖散射算符，并证明其对无质量带电狄拉克场是渐近完备的？
• RQ2 时间依赖散射算符与固定能量下的平稳散射矩阵之间有何关系？
• RQ3 单个固定能量下的散射矩阵能否唯一确定Kerr-Newman-de Sitter黑洞的参数？
• RQ4 角向方程的显式可解性在逆散射过程中起何种作用？
• RQ5 复角动量方法在多大程度上可应用于径向方程以恢复度规参数？

主要发现

• 时间依赖波算符存在且渐近完备，确保散射算符定义良好且幺正。
• 固定能量下的散射矩阵可显式表示为分离后的径向与角向方程解的函数。
• 角向方程可通过Frobenius方法求解，得到显式特殊函数，其编码了自旋加权旋球谐函数。
• 对径向方程应用复角动量技术，可唯一确定散射数据的解析结构。
• 度规参数（质量 $M$，电荷 $Q$，角动量 $a$，宇宙学常数 $ar{ ho}$）可从单个固定能量下的散射矩阵唯一重构。
• 对于Kerr-Newman-de Sitter黑洞，固定能量下的逆散射问题具有唯一解，从而将先前针对球对称情形的结果推广至更一般情况。