[论文解读] Direct proofs of the Feigin-Fuchs character formula for unitary representations of the Virasoro algebra

Antony Wassermann|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 30被引用 5

一句话总结

本文使用主场和 Goddard、Kent 与 Olive 的共轭构造，对中心电荷 $ c = 1 $ 时的 Virasoro 代数单位表示，给出了 Feigin–Fuchs 特征标公式的直接证明。该研究确立了仿射 $ \widehat{su}(2) $ 表示中重数空间的不可约性，验证了 Goldstone 的奇异向量公式，并提出了基于 Jantzen 分次的新型证明方法，该方法可推广至 $ 0 < c < 1 $ 的离散系列。

ABSTRACT

Previously we gave a proof of the Feigin--Fuchs character formula for the irreducible unitary discrete series of the Virasoro algebra with 02. In this paper we consider the same problem in the limiting case of the coset construction c=1. Using primary fields, we directly establish that the Virasoro algebra acts irreducibly on the multiplicity spaces of irreducible representations of SU(2) in the two level one irreducible representations of the corresponding affine Kac--Moody algebra. This gives a direct proof that the only singular vectors in these representations are those given by Goldstone's formulas, which also play an important part in the proof. For this proof, the theory is developed from scratch in a self-contained semi-expository way. Using the Jantzen filtration and the Kac determinant formula, we give an additional independent proof for the case c=1 which generalises to the case 0

研究动机与目标

• 提供 Virasoro 代数在 $ c = 1 $ 时 Feigin–Fuchs 特征标公式的直接、自包含证明，避免使用间接方法。
• 利用主场和幺正性，证明 $ \widehat{su}(2) $ 在水平为一的共轭构造中重数空间的不可约性。
• 确认相关表示中唯一的奇异向量正是 Goldstone 公式所预测的那些。
• 将 Jantzen 分次方法推广至 $ 0 < c < 1 $，提供一种替代 Astashkevich 方法的独立证明。

提出的方法

• 利用振子表示和 Goddard、Kent 与 Olive 的共轭构造，构建 Virasoro 代数的正能单位表示。
• 应用主场理论与具有平坦联络的全纯向量丛理论，分析 $ \widehat{su}(2) $ 表示中的重数空间。
• 使用 Jantzen 分次与 Kac 表示行列式公式，分析奇异向量并证明 $ c = 1 $ 情况下的不可约性。
• 利用 Shapovalov 型形式与 Friedan、Qiu 和 Shenker 的幺正性判据，限制 $ c = 1 $ 时允许的最高权 $ h $。
• 运用复分析与环面上的 $ L^2 $ Sobolev 空间技术，求解非其次 $ \overline{\partial} $-方程，确保平坦联络解的存在性。
• 利用在圆盘上 $ \partial_{\overline{z}} + A $ 与 $ \partial_z + B $ 的交换性，构造平行移动映射与可逆转移函数，证明全纯向量丛在单位圆盘上的平凡性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖非单位表示或奇异向量计算的前提下，直接证明 $ c = 1 $ 时的 Feigin–Fuchs 特征标公式？
• RQ2 $ \widehat{su}(2) $ 在水平为一的共轭构造中，重数空间在 Virasoro 作用下是否不可约？
• RQ3 在表示 $ L(1, j^2) $ 中，唯一的奇异向量是否均由 Goldstone 公式所给出？
• RQ4 Jantzen 分次方法能否用于独立证明 $ c = 1 $ 时的特征标公式？该方法是否可推广至 $ 0 < c < 1 $？

主要发现

• 在 $ \widehat{su}(2) $ 水平为一的共轭构造中，重数空间在 Virasoro 代数作用下不可约，从而确认了 $ L(1, j^2) $ 的特征标公式。
• 在表示 $ L(1, j^2) $ 中，唯一的奇异向量正是 Goldstone 公式所给出的那些，该结论通过主场分析得以确立。
• Jantzen 分次方法为 $ c = 1 $ 时的特征标公式提供了新的、独立的证明，且可推广至 $ 0 < c < 1 $ 的离散系列。
• 单位圆盘上非其次 $ \overline{\partial} $-方程解的存在性，确保了全纯向量丛的平凡性，从而支持了平坦联络与平行移动的构造。
• 在 $ c = 1 $ 时，Shapovalov 型形式在 $ L(c,h) $ 上为正定，依据 Friedan–Qiu–Shenker 判据，确认了表示的幺正性。
• 通过推导得到 $ L(1, j^2) $ 的特征标公式为 $ \chi_{L(1,j^2)}(q) = q^{j^2} \prod_{n \geq 1} (1 - q^n)^{-1} $，与 Feigin–Fuchs 的乘积公式一致。