[论文解读] Directed polymers in heavy-tail random environment and Entropy-controlled Last Passage Percolation

Quentin Berger, Niccolò Torri|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 19被引用 1

一句话总结

本论文研究了在重尾随机环境中、尾指数 $\alpha \in (0,2)$ 的 1+1 维定向聚合物，在弱耦合 regime（$\beta_n \to 0$）下建立了所有可能的标度极限。对于 $\alpha \in (1/2, 2)$，识别出五种不同的标度 regime，此时横向波动 $h_n$ 的范围从 $\sqrt{n}$ 到 $n$；对于 $\alpha < 1/2$，识别出两种 regime，通过引入熵控制的最后通过渗流（E-LPP）证明了 Dey 和 Zygouras 的一个猜想。

ABSTRACT

We study the directed polymer model in dimension $1+1$ when the environment is heavy-tailed, with a decay exponent $\alpha\in(0,2)$. We give all possible scaling limits of the model in the weak-coupling regime, i.e. when the inverse temperature temperature $\beta=\beta_n$ vanishes as the size of the system $n$ goes to infinity. When $\alpha\in(1/2,2)$, we show that all possible transversal fluctuations $\sqrt{n} \leq h_n \leq n$ of the polymer can be achieved by tuning properly $\beta_n$, allowing to interpolate between all super-diffusive scales. Moreover, we determine the scaling limit of the model, answering a conjecture by Dey and Zygouras [cf:DZ] -- we actually identify five different regimes. On the other hand, when $\alpha<1/2$, we show that there are only two regimes: the transversal fluctuations are either $\sqrt{n}$ or $n$. This extends the results of Auffinger and Louidor [AL11], and Dey and Zygouras [cf:DZ], which considered only the cases where $h_n =n$, resp. $h_n=\sqrt{n}$. As a key ingredient, we introduce the [Entropy-controlled Last Passage Percolation] (E-LPP), which is a natural generalization of Hammersley's Last Passage Percolation where points can be collected by paths with the constraint to have an entropy bounded by a fixed constant -- instead of a $1$-Lipschitz constraint. We prove several estimates on the E-LPP in continuous and in discrete settings, which are of interest on their own.

研究动机与目标

• 表征 1+1 维重尾随机环境中定向聚合物的所有可能标度极限。
• 将先前关于横向波动（$\sqrt{n}$ 或 $n$）的结果扩展到 $\alpha \in (1/2, 2)$ 时的中间尺度。
• 解决 Dey 和 Zygouras 关于弱耦合极限中存在多个标度 regime 的猜想。
• 引入并分析熵控制的最后通过渗流（E-LPP）作为研究聚合物波动的新工具。
• 基于尾指数 $\alpha$ 和逆温度 $\beta_n$ 的调节，建立标度 regime 的完整分类。

提出的方法

• 引入熵控制的最后通过渗流（E-LPP），即 Hammersley 的 LPP 的推广，但以熵约束替代 1-Lipschitz 路径约束。
• 在离散和连续设置下分析 E-LPP，推导在熵界下的路径增长与点集收集的估计。
• 利用 E-LPP 表征弱耦合 regime 下定向聚合物模型的自由能与波动。
• 将逆温度 $\beta_n$ 作为系统大小 $n$ 的函数进行调节，以实现期望的横向波动 $h_n \in [\sqrt{n}, n]$。
• 通过分析重尾环境矩与熵约束路径选择之间的相互作用，建立标度极限。
• 证明当 $\alpha < 1/2$ 时，仅可能有 $h_n = \sqrt{n}$ 和 $h_n = n$，而当 $\alpha \in (1/2, 2)$ 时，所有中间尺度均可实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弱耦合 regime 下，对于 $\alpha \in (0,2)$ 的重尾环境中定向聚合物，其所有可能的标度极限是什么？
• RQ2 当 $\alpha \in (1/2, 2)$ 时，通过调节 $\beta_n$ 是否可以实现介于 $\sqrt{n}$ 和 $n$ 之间的中间横向波动尺度？
• RQ3 熵约束在控制最后通过渗流模型中路径选择与自由能方面起什么作用？
• RQ4 环境尾部衰减指数 $\alpha$ 如何影响不同标度 regime 的数量？
• RQ5 Dey 和 Zygouras 关于多个标度 regime 的猜想是否对所有 $\alpha \in (1/2, 2)$ 成立？当 $\alpha < 1/2$ 时会发生什么？

主要发现

• 对于 $\alpha \in (1/2, 2)$，通过适当调节 $\beta_n$，所有满足 $\sqrt{n} \leq h_n \leq n$ 的横向波动 $h_n$ 均可实现，确立了五个不同的标度 regime。
• 对于 $\alpha < 1/2$，仅存在两种 regime：$h_n = \sqrt{n}$ 和 $h_n = n$，证实了由于重尾导致的相变限制。
• 本文解决了 Dey 和 Zygouras 关于弱耦合 regime 中存在多个标度极限的猜想。
• 引入熵控制的最后通过渗流（E-LPP）为在熵约束下分析路径波动提供了新框架，其本身具有超越聚合物模型的内在研究价值。
• 作者在离散和连续设置下推导了 E-LPP 的非平凡估计，这些估计是聚合物模型分析的核心。
• 结果推广了 Auffinger 和 Louidor 以及 Dey 和 Zygouras 的早期发现，将他们的分析从 $h_n = \sqrt{n}$ 和 $h_n = n$ 的极端情况扩展到了中间情形。