[论文解读] Dirichlet-Neumann and Neumann-Neumann Waveform Relaxation Algorithms for Parabolic Problems

Martin J. Gander, Félix Kwok+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2013

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用 26

一句话总结

本文提出了用于抛物型问题的狄利克雷-诺伊曼波形松弛（DNWR）与诺伊曼-诺伊曼波形松弛（NNWR）算法，将非重叠子结构域分解方法扩展至时变PDE。通过拉普拉斯变换，作者证明了在有限时间区间内采用最优松弛参数时，两种方法均实现超线性收敛，显著优于标准波形松弛的收敛速度。

ABSTRACT

We present a waveform relaxation version of the Dirichlet-Neumann and Neumann-Neumann methods for parabolic problems. Like the Dirichlet-Neumann method for steady problems, the method is based on a non-overlapping spatial domain decomposition, and the iteration involves subdomain solves with Dirichlet boundary conditions followed by subdomain solves with Neumann boundary conditions. For the Neumann-Neumann method, one step of the method consists of solving the subdomain problems using Dirichlet interface conditions, followed by a correction step involving Neumann interface conditions. However, each subdomain problem is now in space and time, and the interface conditions are also time-dependent. Using Laplace transforms, we show for the heat equation that when we consider finite time intervals, the Dirichlet-Neumann and Neumann-Neumann methods converge superlinearly for an optimal choice of the relaxation parameter, similar to the case of Schwarz waveform relaxation algorithms. The convergence rate depends on the size of the subdomains as well as the length of the time window. For any other choice of the relaxation parameter, convergence is only linear. We illustrate our results with numerical experiments.

研究动机与目标

• 将此前仅用于椭圆问题的非重叠子结构域分解方法扩展至时变抛物型PDE。
• 为时空问题开发并分析狄利克雷-诺伊曼与诺伊曼-诺伊曼方法的波形松弛变体。
• 在连续设置下建立DNWR与NNWR的精确收敛估计，特别针对热方程。
• 证明在有限时间区间内可实现超线性收敛，这与经典波形松弛通常仅线性收敛形成对比。
• 通过一维与二维空间的数值实验验证理论结果，包括复杂分解情形。

提出的方法

• 提出DNWR与NNWR作为基于非重叠子结构域分解与时间相关界面条件的时空并行算法。
• 利用拉普拉斯变换分析连续设置下的收敛行为，特别针对一维热方程。
• 应用核估计与反拉普拉斯变换，推导出算法的精确收敛界。
• 采用两步迭代过程：DNWR在狄利克雷与诺伊曼界面条件之间交替求解子域问题；NNWR增加一个使用诺伊曼条件的校正步骤。
• 将NNWR的收敛性分析推广至多子域及更高空间维数（d=2），并证明估计结果依然成立。
• 通过改变子域大小、松弛参数与时间窗口的数值实验，验证理论收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过波形松弛将非重叠子结构方法（如狄利克雷-诺伊曼与诺伊曼-诺伊曼）扩展至时变抛物型问题？
• RQ2 DNWR与NNWR在有限时间区间内的收敛行为如何？是否与经典线性收敛不同？
• RQ3 当采用最优松弛参数时，DNWR与NNWR是否会出现超线性收敛？其行为如何依赖于子域大小与时间窗口长度？
• RQ4 NNWR的收敛估计能否推广至多子域及二维空间？
• RQ5 与重叠Schwarz波形松弛及优化方法相比，DNWR与NNWR在数值表现上如何？

主要发现

• 对于一维热方程，当松弛参数选择最优时，DNWR与NNWR在有限时间区间内实现超线性收敛，该结论通过拉普拉斯变换分析得到证明。
• 收敛速率同时依赖于子域大小与时间窗口长度，仅在最优参数选择下才出现超线性收敛。
• 当松弛参数非最优时，收敛退化为线性，与经典波形松弛行为一致。
• 数值实验验证了DNWR与NNWR的理论收敛速率，包括分析未覆盖的配置，如二维中的交叉点分解。
• NNWR在二维空间中保持超线性收敛，且收敛估计与子域数量无关。
• 数值测试中，DNWR与NNWR优于标准重叠Schwarz波形松弛方法，其性能接近高阶优化方法。