[论文解读] Discrete Adjoints for Accurate Numerical Optimization with Application to Quantum Control

N. Anders Petersson, Fortino Garcia+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 20被引用 16

一句话总结

本文提出一种用于量子控制中精确数值优化的离散伴随方法，采用辛的Störmer-Verlet时间积分格式与兼容的离散伴随方案，以计算精确梯度。该方法实现了控制脉冲的高效优化，计算成本与控制参数数量无关，通过使用L-BFGS和IPOPT的超导量子位模拟得到验证。

ABSTRACT

This paper considers the optimal control problem for realizing logical gates in a closed quantum system. The quantum state is governed by Schrodinger's equation, which we formulate as a time-dependent Hamiltonian system in terms of the real and imaginary parts of the state vector. The system is discretized with the Stormer-Verlet scheme, which is a symplectic partitioned Runge-Kutta method. Our main theoretical contribution is the derivation of a compatible time-discretization of the adjoint state equation, such that the gradient of the discrete objective function can be calculated exactly, at a computational cost of solving two Schrödinger systems, independently of the number of parameters in the control functions. A parameterization of the control functions based on B-splines with built-in carrier waves is also introduced. The carrier waves are used to specify the frequency spectra of the control functions, while the B-spline functions specify their envelope and phase. This approach allows the number of control parameters to be independent of, and significantly smaller than, the number of time steps for integrating Schrodinger's equation. We consider Hamiltonians that model the dynamics of a superconducting multi-level qudit and present numerical examples of how the proposed technique can be combined with the interior point L-BFGS algorithm from the IPOPT package for realizing quantum gates. In a set of test cases, the proposed algorithm is shown to compare favorably with QuTiP/pulse_optim and Grape-Tensorflow.

研究动机与目标

• 解决在超导量子位中以高保真度和最小退相干性优化量子门控制脉冲的挑战。
• 为由时变薛定谔方程控制的最优控制问题，开发一种数值精确的梯度计算方法。
• 在时间积分中保持长期数值精度与辛结构，同时实现高效的梯度评估。
• 通过嵌入载波波的B样条参数化，减少控制参数数量相对于时间步数。
• 通过将优化变量数量与时间积分中的时间步数解耦，实现可扩展的优化。

提出的方法

• 将薛定谔方程表述为使用态矢量实部与虚部的时变哈密顿系统。
• 使用Störmer-Verlet格式（一种辛的分区Runge-Kutta方法）对状态方程进行离散化，以保持几何结构。
• 推导伴随状态方程的兼容离散伴随方案，其中时间依赖矩阵在修正的时间层级上进行评估。
• 引入带有内置载波波的B样条参数化，以控制频谱同时减少优化变量数量。
• 通过仅求解两个薛定谔系统，精确计算目标函数的离散梯度，且与控制参数数量无关。
• 将离散伴随方法与IPOPT包中的内点L-BFGS算法结合，实现高效优化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将离散伴随方法推广至时变哈密顿系统，同时保持辛结构？
• RQ2 当使用Störmer-Verlet方法求解状态方程时，时离散化伴随方程的兼容离散伴随方案是什么？
• RQ3 带有载波波的B样条参数化如何在不损失频谱控制能力的前提下减少控制参数数量？
• RQ4 使用离散伴随方法计算精确梯度的计算成本是多少？其随时间步数和参数数量的缩放特性如何？
• RQ5 与现有量子最优控制工具（如QuTiP/pulse_optim和Grape-TensorFlow）相比，该方法在性能与精度上表现如何？

主要发现

• 离散伴随方法可在仅求解两个薛定谔系统的情况下，以与控制参数数量无关的代价，实现对离散目标函数的精确梯度计算。
• 兼容的离散伴随方案保持了时间积分的辛结构，确保了状态与伴随轨迹的长期数值精度。
• 带有载波波的B样条参数化可独立控制控制脉冲的包络、相位与频谱，显著减少了优化变量数量。
• 在超导多能级量子位上的数值实验表明，所提方法在收敛速度与门保真度方面优于QuTiP/pulse_optim与Grape-TensorFlow。
• 该方法实现了高保真度的量子门实现，同时显著降低了向激发态的泄漏，对近期量子计算至关重要。
• 梯度计算高效且可扩展，计算成本与控制参数数量无关，支持大规模优化。