[论文解读] Discrete Mathematics and Physics on the Planck-Scale exemplified by means of a Class of 'Cellular Network Models' and their Dynamics

Manfred Requardt|arXiv (Cornell University)|May 15, 1996

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于细胞网络模型的离散时空与量子物理模型，其中节点（细胞）和键（相互作用）通过局部动力学规律演化。该研究引入了离散分析、群胚结构，以及图上新颖的分形维数概念，表明复杂几何与拓扑结构可从简单规则中涌现，为基于离散数学的普朗克尺度物理提供了框架。

ABSTRACT

Starting from the hypothesis that both physics, in particular space-time and the physical vacuum, and the corresponding mathematics are discrete on the Planck scale we develop a certain framework in form of a class of ' cellular networks' consisting of cells (nodes) interacting with each other via bonds according to a certain 'local law' which governs their evolution. Both the internal states of the cells and the strength/orientation of the bonds are assumed to be dynamical variables. We introduce a couple of candidates of such local laws which, we think, are capable of catalyzing the unfolding of the network towards increasing complexity and pattern formation. In section 3 the basis is laid for a version of 'discrete analysis' on 'graphs' and 'networks' which, starting from different, perhaps more physically oriented principles, manages to make contact with the much more abstract machinery of Connes et al. and may complement the latter approach. In section 4 several more advanced geometric/topological concepts and tools are introduced which allow to study and classify such irregular structures as (random)graphs and networks. We show in particular that the systems under study carry in a natural way a 'groupoid structure'. In section 5 a, as far as we can see, promising concept of 'topological dimension' (or rather: ' fractal dimension') in form of a 'degree of connectivity' for graphs, networks and the like is developed. The possibility of dimensional phase transitions is discussed.

研究动机与目标

• 开发适用于普朗克尺度物理与数学的离散框架，假设时空与真空本质上是离散颗粒的。
• 将时空建模为由相互作用细胞构成的动态网络，受局部演化规律支配。
• 建立图与网络上的离散分析基础，使其与非交换几何相联系。
• 引入并形式化一种基于不规则网络中连通性的拓扑（分形）维数概念。
• 探索此类离散系统中复杂性、模式形成以及维度相变的涌现。

提出的方法

• 该模型使用由节点连接的细胞网络，其中细胞状态与键的属性均为动力学变量。
• 演化由基于邻域构型更新细胞状态与键强度/方向的局部规律所支配。
• 基于物理与几何直觉的原则，在图上发展离散分析，使网络上的微积分类操作成为可能。
• 群胚结构自然嵌入系统中，为不规则网络中的对称性与变换提供数学框架。
• 引入一种新的“连通度”概念，作为图与网络的拓扑（分形）维数的度量。
• 该框架被应用于研究几何与拓扑转变，包括可能的维度相变。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从简单的局部动力学规则中涌现出一个离散网络的时空模型？
• RQ2 对于随机图或细胞网络等不规则离散结构，合适的维数概念是什么？
• RQ3 如何在图上形式化离散分析，以模拟连续微积分并连接非交换几何？
• RQ4 群胚结构在离散时空模型中以何种方式自然出现？
• RQ5 此类离散系统中是否可能发生维度相变，这对时空几何意味着什么？

主要发现

• 该系统自然携带群胚结构，为离散时空中的对称性与变换提供了数学基础。
• 提出了一种基于连通度的新型“分形维数”概念，并证明其适用于不规则网络。
• 建立了图上离散分析的框架，与康奈斯等人在非交换几何中的抽象工具建立了联系。
• 该模型支持从简单局部演化规则中涌现出复杂模式与结构复杂性的增加。
• 识别出维度相变的可能性，表明时空维度在普朗克尺度下可能具有动力学特性。
• 该方法为基于连续模型提供了物理上合理的替代方案，将量子引力建立在离散数学基础之上。