[论文解读] Discrete mechanics: a sequential growth dynamics for causal sets, and a self-organization of particles

Alexey L. Krugly|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2010

Quantum Mechanics and Applications参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文提出一种基于因果集的离散预几何模型，其中时空与粒子源自有限基本过程（单子）的顺序增长动力学。通过创建/湮灭算符与代数表示，展示了循环过程（环）与因果联系（费米子结构）如何自组织为类粒子实体，其动力学由一个有限的代数运动方程支配，该方程可推广为玻色子与费米子场的离散原始形式。

ABSTRACT

A model of a discrete pregeometry on a microscopic scale is introduced. This model is a finite network of finite elementary processes. The mathematical description is a d-graph that is a generalization of a graph. This is the particular case of a causal set. The aim of this study is to construct the particles as emergent structures. The particles in this model must be cyclic processes. The general dynamics and several examples are given. A simple dynamics generates a hierarchy of cyclic processes. An algebraic representation of this dynamics is given. It is based on the algebra of creation and destruction operators. Loops are described by bosonic operators and causal connections are described by fermionic operators.

研究动机与目标

• 开发一种无需依赖时空连续性的自洽离散量子粒子描述。
• 在因果集框架内，将基本粒子建模为涌现的循环过程。
• 构建一种因果集的动力学，通过顺序增长生成层次结构。
• 使用创建/湮灭算符推导代数形式体系，以表示环与因果联系。
• 探索玻色子与费米子场的离散原始形式如何从单子与x-结构的动力学中产生。

提出的方法

• 将时空建模为d-图，即因果集的一种推广，其中事件为有限的基本过程（单子），代表创建/湮灭。
• 引入由因果结构与概率归一化决定的随机规则所支配的顺序增长动力学。
• 应用动力学因果性与离散广义协变性原理，确保在离散层面与相对论不变性一致。
• 定义动力学结构如x-结构（单子的集合）与外单子，其态矢量编码物理构型。
• 通过动力学算符D的矩阵元与数算符N的指数概率振幅推导运动方程。
• 使用玻色子算符表示环，费米子算符表示因果联系，从而得到自旋子（费米子）与玻色场的离散原始形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在根本上离散的、基于因果集的预几何中，粒子如何作为稳定、循环的过程涌现？
• RQ2 何种动力学规则支配因果集的顺序增长，以产生自组织结构？
• RQ3 创建与湮灭算符的代数形式体系如何同时表示物质（环）与因果连通性（费米子连接）？
• RQ4 在此因果集框架中，量子场论（玻色子/费米子）的离散原始形式是什么？
• RQ5 运动方程能否表示为有限代数运算而非微分方程，这对量子引力意味着什么？

主要发现

• 该模型通过单子的顺序增长动力学生成粒子作为涌现的循环过程，稳定结构源于重复的创建与湮灭。
• 动力学生长扩展的概率由一个代数运动方程给出：$ P = C \exp[(\ln 2) \sum_{i=1}^{N} (q \sum_{s,r} \langle \mathcal{X}_{js} | \hat{D} | \mathcal{X}_{ir} \rangle - \langle \mathcal{A}_{ij} | L_{ij} \hat{N} | \mathcal{A}_{ij} \rangle)] $，该方程同时编码因果与环结构。
• 环由玻色子算符表示，因果联系由费米子算符表示，从而产生玻色子与费米子场的离散原始形式。
• x-结构中外单子的态矢量具有四个分量，对应于自旋子场的离散原始形式。
• 该模型实现了“秩序 + 数量 = 物质 + 几何”的原理，将因果集思想“秩序 + 数量 = 几何”扩展至包含涌现物质。
• 该动力学为非微分且有限，概率通过代数运算构建，暗示了量子场论的离散原始形式。