[论文解读] Discrete Shilnikov attractor and chaotic dynamics in the system of five identical globally coupled phase oscillators with biharmonic coupling

Evgeny A. Grines, Alexei O. Kazakov+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2017

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文展示了在具有双谐耦合的五个相同全局耦合相位振子系统中存在离散的Shilnikov吸引子。通过Poincaré映射的数值分析，作者识别出一个分岔序列——Neimark-Sacker分岔后接环面加倍和混沌转变——证实了通过离散Shilnikov情景出现奇异吸引子，其吸引子的同宿结构表现出类似流动的行为。

ABSTRACT

We argue that a discrete Shilnikov attractor exists in the system of five identical globally coupled phase oscillators with biharmonic coupling. We explain the scenario that leads to birth of this kind of attractor and numerically illustrate the sequence of bifurcations that supports our statement.

研究动机与目标

• 研究在通常表现为同步或周期性行为的相同全局耦合相位振子系统中混沌动力学的出现。
• 确定离散Shilnikov吸引子——其特征为到鞍焦点不动点的同宿轨道——是否可能在这些系统中出现。
• 识别在具有双谐耦合的五振子系统中奇异吸引子诞生的分岔情景。
• 分析吸引子及其不变流形的几何结构，特别是其不寻常的类似流动的同宿构型。

提出的方法

• 通过在γ₃ = 1.2处设置Poincaré截面，将五维ODE系统约化为三维Poincaré映射。
• 通过改变耦合参数r（固定α = 1.6和β = -1.58）对系统动力学进行数值延续。
• 计算李雅普诺夫指数以检测混沌的出现，正的最大李雅普诺夫指数表明存在奇异吸引子。
• 构建并可视化鞍焦点不动点的稳定与不稳定不变流形，以识别同宿交点。
• 采用GGS12和GGKT14中提出的三维映射中离散Shilnikov吸引子出现的场景。
• 分析吸引子与鞍焦点不动点之间的距离，以追踪r增大时的收敛情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有双谐耦合的五个相同全局耦合相位振子系统中是否存在离散Shilnikov吸引子？
• RQ2 导致此类奇异吸引子出现的分岔序列是什么？
• RQ3 尽管处于离散映射中，为何吸引子的同宿结构看起来像连续流动？
• RQ4 能否定量关联吸引子与鞍焦点不动点之间的接近程度与分岔序列？

主要发现

• 在具有双谐耦合的五个相同全局耦合相位振子系统中，通过数值分岔分析确认了离散Shilnikov吸引子的出现。
• 该吸引子通过一系列分岔产生：在r ≈ 0.1795处发生Neimark-Sacker分岔，随后在r ≈ 0.185和r ≈ 0.188处发生环面加倍。
• 在r = 0.1892处观察到正的最大李雅普诺夫指数，表明混沌开始出现，奇异吸引子形成。
• 吸引子与鞍焦点不动点之间的距离在r ≈ 0.1892处达到最小值，表明同宿接近程度最大。
• 数值证据证实了鞍焦点不动点的不稳定流形与稳定流形相交，确认了同宿结构的存在。
• 尽管存在于离散映射中，该同宿结构仍表现出类似流动的外观，提示其在不动点附近可能嵌入于连续流动中。