[论文解读] Disjoint distributional chaos in Fr\'echet spaces

Marko Kostić|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2018

Approximation Theory and Sequence Spaces被引用 2

一句话总结

本文在弗雷chet空间中系统研究了多值线性算子序列的十二种不同形式的不相交分布混沌，提出了推广并扩展现有线性动力学概念的新定义。主要贡献在于通过上密度和范数增长准则，为后向移位算子、局部紧群上Orlicz空间的加权平移算子以及全纯函数空间上的微分算子等具体算子类，建立了不相交分布混沌的充分条件。

ABSTRACT

We introduce several different notions of disjoint distributional chaos for sequences of multivalued linear operators in Fr\'echet spaces. Any of these notions seems to be new and not considered elsewhere even for linear continuous operators in Banach spaces. We focus special attention to the analysis of some specific classes of linear continuous operators having a certain disjoint distributionally chaotic behaviour, providing also a great number of illustrative examples and applications of our abstract theoretical results.

研究动机与目标

• 为弗雷chet空间中多值线性算子序列定义并形式化新的不相交分布混沌概念，扩展先前关于分布混沌和不相交超循环性的研究。
• 分析这些新混沌类型的理论结构，特别关注其对单个分量算子和子空间动力学的影响。
• 为具体算子类（包括后向移位算子、加权平移算子和微分算子）提供不相交分布混沌的充分条件。
• 将分布混沌框架扩展至无限维设置下的多值和无界线性算子，包括非巴拿赫空间。
• 通过系统处理弗雷chet空间中的不相交分布混沌，弥合文献空白，特别是在此前未被探索的有限维子空间中此类行为的系统研究。

提出的方法

• 为弗雷chet空间中多值线性算子序列提出十二种不同类型的（d, ˜X, i）-分布混沌（i = 1 到 12），其强度和影响各不相同。
• 利用上密度概念（dens(B) = 1）和范数增长条件（如 ∥T^n_j y∥_p → ∞）刻画多个算子之间的混沌行为。
• 应用泛函分析中的定理，包括子空间中级数的收敛性（如 y = ∑_{n∈B} c_n χ_{K_n} 在 ˜X 中）以及卷积和加权平移算子的性质。
• 在Orlicz空间 L_Φ(G) 上使用Luxemburg范数 N_Φ 和Young函数的 ∆²-正则性，将 L_p(G) 上的结果推广至更广泛函数空间。
• 依赖 C_c(G) 在 L_Φ(G) 中的稠密性以及涉及 ϕ_{j,n} = ∏_{s=1}^n w_j * δ_s^{a_j^{-1}} 的范数估计，分析算子范数和混沌行为。
• 应用定理4.3和命题3.26，从 ∥∑_{k∈B} c_k T^n_j χ_{K_k}∥_p 沿上密度为1的集合满足 n→∞ 时发散，推导出 (d, ˜X, 1)-分布混沌。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弗雷chet空间中，多值线性算子序列的分布混沌概念应如何适当推广，特别是在不相交设定下？
• RQ2 不同类型的 (d, ˜X, i)-分布混沌之间以及与单个分量混沌之间（尤其 i ∈{1, 2, 3, 7, 9}）的关系是什么？
• RQ3 在局部紧群的Orlicz空间上，加权平移算子在何种条件下表现出不相交分布混沌？
• RQ4 是否可为弗雷chet空间中全纯函数空间上的无界线性微分算子建立不相交分布混沌？
• RQ5 在定理5.6和5.7中要求的沿上密度为1的集合上算子范数发散，其充分条件是什么？

主要发现

• 若对所有 k ∈ ℕ 和 j ∈ ℕ 有 lim_{n→∞} ∥ϕ_{j,n}|K_k∥_p = 0，且 ∑_{n∈B} |c_n|^λ |K_n|^{1/p} < ∞，以及 lim_{n∈B} ∥∑_{k∈B} c_k T^n_j χ_{K_k}∥_p = ∞，则算子 T_1, ..., T_N 是稠密的 (d, ˜X, 1)-分布混沌。
• 在Orlicz空间 L_Φ(G) 上，若 (c_n)_n∈B 绝对可 summable，dens(B) = 1，且对每个紧集 K ⊆ G 有 lim_{n∈B} N_Φ(∑_{k∈B} c_k T^n_j χ_K) = ∞，则算子 T_1, ..., T_N 是稠密的 (d, 1)-分布混沌。
• (d, ˜X, 1)-分布混沌是最强类型，意味着所有单个分量均为 ˜X-分布混沌。
• 对于 i ∈{2, 3, 7} 的 (d, ˜X, i)-混沌，意味着每个单个分量均为 ˜X-分布混沌；而 i ∈{4,5,6,8} 的类型则意味着至少一个分量混沌。
• (d, ˜X, 9)-分布混沌因其结构意义而尤为引人注目，尽管其完整刻画仍待解决。
• 结果在 ∆²-正则性条件下，将先前在 L_p(G) 上的发现推广至 Orlicz 空间 L_Φ(G)，且 C_c(G) 在 L_Φ(G) 中的稠密性使得逼近论证成为可能。