[论文解读] Disjunctive Probabilistic Modal Logic is Enough for Bisimilarity on Reactive Probabilistic Systems

Marco Bernardo, Marino Miculan|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2016

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 16被引用 4

一句话总结

该论文证明了析取概率模态逻辑——包含真值、析取和具有下限的概率模态——足以在无需否定或合取的情况下刻画反应式概率系统的概率双语关系。关键贡献是使用反应式概率树构建了一个完全抽象且紧凑的语义，从而通过紧致性与树逼近实现区分公式的归纳构造。

ABSTRACT

Larsen and Skou characterized probabilistic bisimilarity over reactive probabilistic systems with a logic including true, negation, conjunction, and a diamond modality decorated with a probabilistic lower bound. Later on, Desharnais, Edalat, and Panangaden showed that negation is not necessary to characterize the same equivalence. In this paper, we prove that the logical characterization holds also when conjunction is replaced by disjunction, with negation still being not necessary. To this end, we introduce reactive probabilistic trees, a fully abstract model for reactive probabilistic systems that allows us to demonstrate expressiveness of the disjunctive probabilistic modal logic, as well as of the previously mentioned logics, by means of a compactness argument.

研究动机与目标

• 确定在不重新引入否定的情况下，析取是否可以替代合取来刻画概率双语关系的逻辑形式。
• 确立析取逻辑 PML∨ 在反应式概率过程上的双语关系表达完备性。
• 提出一种新的、更简单的证明技术，用于概率模态逻辑的表达力，基于完全抽象且紧凑的语义。
• 证明在反应式概率设定下，否定与合取的缺失不会降低表达力。

提出的方法

• 引入反应式概率树（RPTs）作为反应式概率系统的典范、完全抽象的语义。
• 通过范畴论方法的典范构造，证明两个状态双语当且仅当它们映射到相同的 RPT。
• 建立 RPT 的紧致性：若两棵无限树的所有有限逼近均相等，则这两棵树相等。
• 基于树的高度，通过概率下限和析取，归纳构造 PML∨ 中的区分公式，以模拟合取逻辑。
• 使用紧致性论证表明，若两棵有限 RPT 不同，则存在一个深度不超过树高的 PML∨ 公式可将其区分。
• 将相同技术应用于重新证明 PML¬∧ 和 PML∧ 的表达力，表明其通用性不仅限于主要结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 析取概率模态逻辑能否在无需否定或合取的情况下刻画反应式系统中的概率双语关系？
• RQ2 是否存在一种完全抽象且紧凑的语义，用于反应式概率过程，以支持对公式的归纳推理？
• RQ3 是否仅通过析取和概率下限即可保持合取逻辑的表达力？
• RQ4 在反应式设定下，逻辑中缺少否定是否会影响其区分非双语过程的能力？

主要发现

• 析取概率模态逻辑（PML∨）足以刻画反应式概率系统上的概率双语关系。
• PML∨ 可通过一个深度受树高限制的公式，区分任意两个非双语的有限反应式概率树。
• PML∨ 中区分公式的构造依赖于逐步提高概率下限，通过析取和累积概率和来模拟合取。
• 反应式概率树语义是完全抽象且紧凑的，支持通过有限逼近实现逻辑区分。
• 相同证明技术可为先前研究的逻辑 PML¬∧ 和 PML∧ 提供更简单、更直接的表达力证明，且适用于离散设定。
• 结果表明，在反应式概率设定下，析取与合取在双语关系刻画中可相互定义，这与非概率系统中的情况不同。