[论文解读] Dispersion of inertial particles in cellular flows in the small-Stokes, large-P\\'eclet regime

A. Renaud, Jacques Vanneste|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2020

Particle Dynamics in Fluid Flows参考文献 28被引用 4

一句话总结

该论文在小斯托克斯数、大佩克莱特数的条件下（$τ \ll 1$，$π \gg 1$），且满足$τ \cdot \u03c0 = O(1)$，利用均值化方法和匹配渐近分析，推导出惯性粒子在元胞流场中的有效扩散率。结果表明，重粒子（$β < 1$）的弥散增强，其扩散率标度为$τ^{1/2}/\log(\u03c4 \cdot \u03c0)^{1/2}$；而轻粒子（$β > 1$）的扩散率则呈指数抑制，该结论得到了数值模拟的验证。

ABSTRACT

We investigate the transport of inertial particles by cellular flows when advection dominates over inertia and diffusion, that is, for Stokes and P\\'eclet numbers satisfying $\\mathrm{St} \\ll 1$ and $\\mathrm{Pe} \\gg 1$. Starting from the Maxey--Riley model, we consider the distinguished scaling $\\mathrm{St} \\, \\mathrm{Pe} = O(1)$ and derive an effective Brownian dynamics approximating the full Langevin dynamics. We then apply homogenisation and matched-asymptotics techniques to obtain an explicit expression for the effective diffusivity $\\overline{D}$ characterising long-time dispersion. This expression quantifies how $\\overline{D}$, proportional to $\\mathrm{Pe}^{-1/2}$ when inertia is neglected, increases for particles heavier than the fluid and decreases for lighter particles. In particular, when $\\mathrm{St} \\gg \\mathrm{Pe}^{-1}$, we find that $\\overline{D}$ is proportional to $\\mathrm{St}^{1/2}/(\\log ( \\mathrm{St} \\, \\mathrm{Pe}))^{1/2}$ for heavy particles and exponentially small in $\\mathrm{St} \\, \\mathrm{Pe}$ for light particles. We verify our asymptotic predictions against numerical simulations of the particle dynamics.

研究动机与目标

• 量化当对流主导扩散时，粒子惯性如何影响元胞流场中长时间尺度的弥散行为。
• 将经典的非惯性有效扩散率结果（$\overline{D} \sim \mathrm{Pe}^{-1/2}$）推广至小但有限的粒子惯性情况。
• 在特征尺度$τ \cdot \mathrm{Pe} = O(1)$下，推导出有效扩散率$\overline{D}$的显式渐近表达式。
• 通过渐近分析解释重粒子与轻粒子行为的显著差异——重粒子呈现增强输运，轻粒子呈现抑制输运。

提出的方法

• 使用马克斯利-莱利朗之万模型描述惯性粒子动力学，包含斯托克斯阻力和附加质量力。
• 采用特征标度$τ \cdot \mathrm{Pe} = O(1)$，在小斯托克斯数、大佩克莱特数极限下平衡惯性与扩散效应。
• 应用均值化技术，推导出长时间弥散的有效布朗运动模型。
• 利用匹配渐近分析与积分渐近方法评估有效扩散率，特别关注控制扩散率比的函数$Z(\alpha)$的行为。
• 在$\alpha \to \infty$与$\alpha \to -\infty$两种情形下，分别推导出$Z(\alpha)$的显式渐近展开，分别对应重粒子与轻粒子。
• 通过全朗之万动力学的数值模拟及有效扩散率的直接采样，验证分析预测。

实验结果

研究问题

• RQ1 当$τ \ll 1$且$π \gg 1$，且满足$τ \cdot \u03c0 = O(1)$时，粒子惯性如何改变元胞流场中的有效扩散率？
• RQ2 为何重粒子在元胞流场中呈现弥散增强，而轻粒子则呈现弥散抑制？
• RQ3 在惯性区域，有效扩散率对斯托克斯数与佩克莱特数的函数依赖关系为何？
• RQ4 重粒子的扩散率增强能否通过渐近分析被定量捕捉？
• RQ5 横向流线漂移项$b(\psi)$的符号是否会影响长时间弥散行为，特别是对于$b(\psi)$非单调的流场？

主要发现

• 对于重粒子（$τ \gg \mathrm{Pe}^{-1}$），有效扩散率标度为$\overline{D} \sim \mathrm{St}^{1/2} / \log(\mathrm{St} \cdot \mathrm{Pe})^{1/2}$，表明其显著高于非惯性情况。
• 对于轻粒子（$τ \gg \mathrm{Pe}^{-1}$），有效扩散率呈指数衰减，形式为$\overline{D} \sim \mathrm{e}^{-\Upsilon \cdot \mathrm{St} \cdot \mathrm{Pe}}$，其中$\Upsilon \approx 0.655$，导致弥散受到强烈抑制。
• 有效扩散率比$\overline{D}(\mathrm{Pe}, \alpha)/\overline{D}(\mathrm{Pe}, 0)$由函数$1/Z(\alpha)$控制，该函数在$α \to \infty$与$α \to -\infty$情形下均通过渐近方法推导得出。
• 当$α \to \infty$时，$Z(\alpha)$的渐近展开包含对数校正项，这些校正项对精确数值计算至关重要，且随$α$缓慢衰减。
• 全朗之万动力学的数值模拟验证了分析预测，证实了所推导的$\overline{D}$渐近表达式的正确性。
• 某些流场中$b(\psi)$为负，理论上可能引起重粒子扩散率抑制，但本研究未发现此类流场。