[论文解读] Dispersion Relations and Wave Operators in Self-Similar Quasi-Continuous Linear Chains

Thomas M. Michelitsch, Gérard A. Maugin+3 more|White Rose Research Online (University of Leeds, The University of Sheffield, University of York)|Apr 5, 2009

Theoretical and Computational Physics被引用 31

一句话总结

本文提出了一种具有非局部、幂律缩放谐波相互作用的自相似准连续线性链模型，其波算符的色散关系由Weierstrass-Mandelbrot函数描述。连续体近似揭示了振子密度的幂律频率依赖性，在低频区域表现出 $\rho(\omega) \propto \omega^{\frac{2}{\delta}-1}$，表明多尺度系统中存在分形与自相似动力学。

ABSTRACT

We construct self-similar functions and linear operators to deduce a self-similar variant of the Laplacian operator and of the D'Alembertian wave operator. The exigence of self-similarity as a symmetry property requires the introduction of non-local particle-particle interactions. We derive a self-similar linear wave operator describing the dynamics of a quasi-continuous linear chain of infinite length with a spatially self-similar distribution of nonlocal inter-particle springs. The self-similarity of the nonlocal harmonic particle-particle interactions results in a dispersion relation of the form of a Weierstrass-Mandelbrot function which exhibits self-similar and fractal features. We also derive a continuum approximation which relates the self-similar Laplacian to fractional integrals and yields in the low-frequency regime a power law frequency-dependence of the oscillator density.

研究动机与目标

• 开发一种在无特征长度尺度的自相似、标度不变系统中具有数学可处理性的波动力学模型。
• 通过非局部粒子间相互作用，推导出自相似的拉普拉斯算符和D’Alembert波算符的变体。
• 建立自相似拉普拉斯算符与分数阶积分之间的连续体近似关系。
• 分析在低频区域下所得色散关系和振子密度的特性。
• 为利用自相似性作为对称性原理，建立在分形和多尺度材料中波传播的建模基础。

提出的方法

• 通过仿射函数方程 $\phi(Nh) = \Lambda \phi(h)$，其中 $\Lambda = N^\delta$，定义精确自相似性，以构建自相似函数。
• 通过作用于自相似函数的线性算符 $\hat{A}_N$ 的本征值问题，推导出自相似拉普拉斯算符。
• 在连续极限下，将自相似拉普拉斯算符表示为分数阶积分算符，将其与Riemann-Liouville分数阶微积分联系起来。
• 建立具有自相似谐波弹簧的准连续链的运动方程，从而导出自相似波方程。
• 获得色散关系的形式为Weierstrass-Mandelbrot函数 $\omega^2(kh) \propto \sum_{s \in \mathbb{Z}} N^{-s\delta} (1 - \cos(N^s kh))$。
• 应用低频近似，推导出在准连续极限 $N = 1 + \epsilon$，$\epsilon \ll 1$ 下，振子密度的幂律行为 $\rho(\omega) \propto \omega^{\frac{2}{\delta}-1}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有非局部、标度不变相互作用的线性链中构造出自相似拉普拉斯算符和波算符？
• RQ2 在具有幂律缩放弹簧的自相似准连续链中，色散关系呈现何种形式？
• RQ3 在低频区域，振子密度的行为如何？其与频率的函数关系是什么？
• RQ4 自相似波算符在多大程度上可推广以描述嵌入欧几里得空间中的分形子空间中的波传播？
• RQ5 参数 $\delta$ 在决定色散关系和振子密度的分形与自相似特性方面起什么作用？

主要发现

• 色散关系呈现Weierstrass-Mandelbrot函数的形式，在特定参数范围内表现出精确自相似性和分形特征。
• 在低频区域，色散关系遵循幂律 $\bar{\omega}(k) \approx \text{Const} \cdot |k|^{\delta/2}$，该结果由近似式 $\omega^2(kh) \approx \frac{(h|k|)^\delta}{\epsilon} C$ 导出。
• 在低频极限下，振子密度为 $\rho(\omega) = \frac{2}{\pi \delta h} \left( \frac{\epsilon}{C} \right)^{1/\delta} \omega^{\frac{2}{\delta}-1}$，该式在 $0 < \delta < 2$ 范围内有效。
• 幂律指数 $\frac{2}{\delta} - 1$ 随 $\delta$ 从 2 变化到 0 时，从 0 变化至 $\infty$，意味着在零频处振子密度趋于零。
• 在连续极限下，自相似拉普拉斯算符表示为分数阶积分，将该模型与分数阶微积分及Riemann-Liouville算子联系起来。
• 对振子密度的近似式 (54) 仅在准连续极限 $N = 1 + \epsilon$ 且 $\epsilon \ll 1$ 下成立，此时 $N^s$ 可视为有效连续。