[论文解读] Dissipative Mechanics Using Complex-Valued Hamiltonians

S. G. Rajeev|ArXiv.org|Jan 19, 2007

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 2被引用 6

一句话总结

本文通过引入复值坐标和复哈密顿量，提出了一种用于耗散系统的复杂结构哈密顿形式，实现了对能量耗散动力学的正则处理。该方法导出的非厄米量子哈密顿量具有复特征值，可描述衰变为基态的不稳定激发态，且该形式通过近复结构推广至弯曲相空间。

ABSTRACT

We show that a large class of dissipative systems can be brought to a canonical form by introducing complex co-ordinates in phase space and a complex-valued hamiltonian. A naive canonical quantization of these systems lead to non-hermitean hamiltonian operators. The excited states are unstable and decay to the ground state . We also compute the tunneling amplitude across a potential barrier.

研究动机与目标

• 通过引入复值相空间坐标和复哈密顿量，发展耗散系统的正则形式。
• 通过将耗散嵌入哈密顿结构中，推广经典与量子力学以包含能量损失。
• 通过具有复特征值的非厄米哈密顿量，实现耗散系统的正则量子化。
• 通过黎曼几何和近复结构，将该形式推广至弯曲相空间。
• 为研究耗散动力学（包括隧穿和衰变过程）提供几何基础。

提出的方法

• 引入复哈密顿量 H = H₁ + iH₂，其中 H₁ 为实部（修正的动能与势能），H₂ 为虚部（耗散项）。
• 通过满足 J² = -1 的矩阵 J 定义时间演化，该矩阵在相空间向量上实现乘以 i 的作用，即作为复结构。
• 利用矩阵 J 将哈密顿量的虚部映射为生成耗散的向量场，同时保持相空间轨迹为实值。
• 应用对应原理进行系统量子化，得到具有复特征值的非厄米哈密顿量算符。
• 通过黎曼度量 g_ab 和由凸势能 W 导出的耗散张量 γ_ab，将该形式推广至余切丛 T*Q。
• 定义变换动量 p̃_a = p_a + ∂_a W，以解耦保守与耗散动力学，从而在新变量上建立复哈密顿结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过复值坐标和复哈密顿量，将耗散系统表示为正则哈密顿形式？
• RQ2 复哈密顿量的引入如何实现能量损失的协调经典与量子描述？
• RQ3 近复结构 J 在保持实值相空间演化的同时，如何生成耗散动力学？
• RQ4 在非厄米哈密顿量存在时，ω₂ 的选择如何影响量子理论？
• RQ5 该形式能否推广至具有非恒定度量和耗散张量的弯曲相空间系统？

主要发现

• 一大类耗散系统可由复哈密顿量 H = H₁ + iH₂ 描述，其中虚部 H₂ 控制能量耗散。
• 尽管哈密顿量为复数，经典运动方程仍为实值，这是由于满足 J² = -1 的矩阵 J 在相空间向量上实现乘以 i 的作用。
• 正则量子化导出具有复特征值的非厄米哈密顿量算符，其中激发态不稳定并衰减至基态。
• 通过在哈密顿量中添加虚常数 ic，可稳定基态，确保其特征值保持实数。
• 通过黎曼度量和由凸势能 W 导出的耗散张量 γ_ab，该形式可推广至弯曲相空间，变换动量 p̃_a 使复哈密顿结构得以实现。
• 所得量子理论依赖于 ω₂ 的选择，其出现在哈密顿量的虚部，并影响薛定谔方程中的非厄米项。