[论文解读] Distance to nearest skew-symmetric matrix polynomials of bounded rank

Andrii Dmytryshyn, Froilán M. Dopico+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2026

Matrix Theory and Algorithms被引用 0

一句话总结

本文将距离近似问题推广到带有界秩的斜对称矩阵多项式，给出基于 GEARS 的算法以计算最近的此类多项式及其对 pencil 的改编，并提供数值验证。

ABSTRACT

We propose an algorithm that approximates a given matrix polynomial of degree $d$ by another skew-symmetric matrix polynomial of a specified rank and degree at most $d$. The algorithm is built on recent advances in the theory of generic eigenstructures and factorizations for skew-symmetric matrix polynomials of bounded rank and degree. Taking into account that the rank of a skew-symmetric matrix polynomial is even, the algorithm works for any prescribed even rank greater than or equal to $2$ and produces a skew-symmetric matrix polynomial of that exact rank. We also adapt the algorithm for matrix pencils to achieve a better performance. Lastly, we present numerical experiments for testing our algorithms and for comparison to the previously known ones.

研究动机与目标

• 激励并形式化将给定矩阵多项式近似为具有固定偶秩和次数的附近斜对称多项式的问题。
• 表征带有界秩的斜对称矩阵多项式的通用特征结构和分解。
• 开发实用算法以计算最近的带界秩斜对称多项式，并为 pencil 实现变体。
• 提供数值实验，将所提出的方法与现有方法进行比较，并证明其有效性。

提出的方法

• 将距离最小化问题 distPOL2r 形式化为 grade d、秩为 2r 的斜对称矩阵多项式的最小距离问题。
• 通过最小基分解的泛化集参数化，将 G2r 的元素表示为 L(λ)[0 Δr; −Δr 0]L(λ)T。
• 将距离问题改写为带 vec 操作符的结构化最小二乘问题，并采用一个秩受限的分解 S(λ)=U(λ)V(λ)T − V(λ)U(λ)T。
• 通过在 V(λ) 和 U(λ) 因子之间交替最小二乘法求解得到的优化问题，利用 M(W(λ)) 矩阵获得闭式更新。
• 将该方法改编以适用于斜对称矩阵 pencil，以实现更高的性能（GEARS-SVD 变体）。
• 提供一个基于典型形和秩-1 扰动的 pencil 的互补秩-1 分解框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何表征给定矩阵多项式到带有界秩的斜对称多项式集合的距离？
• RQ2 一个实际、可实现的算法来计算最近的给定偶秩斜对称多项式是什么？
• RQ3 如何将该方法从多项式扩展到 pencil 以提升性能？
• RQ4 所提出的交替最小二乘法的数值性质和收敛性保证是什么？
• RQ5 所提出的方法与现有的距离奇异性或相关的矩阵近似问题相比如何？

主要发现

• 开发了一个算法（GEARS）来近似给定矩阵多项式为具有规定偶秩和最多 d 的斜对称多项式。
• 基于泛化因式分解的参数化使距离问题的求解变得实用且高效。
• 该方法自然扩展到斜对称矩阵 pencil，并有一个用于提升性能的 GEARS-SVD 变体。
• 通过使用 vec 操作符和秩受限表示将问题重新表述为结构化的最小二乘问题，确保距离序列的单调收敛。
• 数值实验验证了该方法，并能够与已有的距离奇异性方法（以及带秩约束的斜对称结构）进行比较。