[论文解读] Distinct and repeated distances on a surface and incidences between points and spheres

Micha Sharir, Noam Solomon|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2016

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 24被引用 6

一句话总结

该论文在点位于常数次代数曲面上时，建立了三维空间中点与球面之间关联数的改进界，从而得出了更强的互异距离下界（$\Omega(n^{7/9}/{\rm polylog}\,n)$）以及此类曲面上单位距离的紧致上界（$O(n^{4/3})$）。这些结果依赖于一种新颖的关联界，能够处理圆周结构，并通过消除对球面退化性的限制，将结果推广至任意点-曲面配置。

ABSTRACT

In this paper we show that the number of distinct distances determined by a set of $n$ points on a constant-degree two-dimensional algebraic variety $V$ (i.e., a surface) in $\mathbb R^3$ is at least $Ω\left(n^{7/9}/{ m polylog} \,n ight)$. This bound is significantly larger than the conjectured bound $Ω(n^{2/3})$ for general point sets in $\mathbb R^3$. We also show that the number of unit distances determined by $n$ points on a surface $V$, as above, is $O(n^{4/3})$, a bound that matches the best known planar bound, and is worst-case tight in 3-space. This is in sharp contrast with the best known general bound $O(n^{3/2})$ for points in three dimensions. To prove these results, we establish an improved upper bound for the number of incidences between a set $P$ of $m$ points and a set $S$ of $n$ spheres, of arbitrary radii, in $\mathbb R^3$, provided that the points lie on an algebraic surface $V$ of constant degree, which does not have linear or spherical components. Specifically, the bound is $$ O\left( m^{2/3}n^{2/3} + m^{1/2}n^{7/8}\log^β(m^4/n) + m + n + \sum_{c} |P_{c}|\cdot |S_{c}| ight) , $$ where the constant of proportionality and the constant exponent $β$ depend on the degree of $V$, and where the sum ranges over all circles $c$ that are fully contained in $V$, so that, for each such $c$, $P_c = P\cap c$ and $S_c$ is the set of the spheres of $S$ that contain $c$. In addition, $\sum_{c} |P_{c}| = O(m)$ and $\sum_{c} |S_{c}| = O(n)$. This bound too improves upon earlier known bounds. These have been obtained for arbitrary point sets but only under severe restrictions about the spheres, which are dropped in our result. Another interesting application of our result is an incidence bound for arbitrary points and spheres in 3-space, where we improve and generalize the previous work of Apfelbaum and Sharir[AS].

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{R}^3$ 中，为位于常数次代数曲面上的 $n$ 个点所确定的互异距离数量建立更紧致的界。
• 为这类曲面上的单位距离数量推导出改进的上界，使其与目前已知的最佳平面界相匹配。
• 在点位于无平面或球面分量的曲面上时，建立点与球面在 $\mathbb{R}^3$ 中的精细化关联界。
• 通过消除对球面非退化性的限制，推广并改进先前的关联界，特别是 Apfelbaum 和 Sharir 的结果。
• 探讨关联结果在重复距离与互异距离问题中的应用，并提出向更高维代数曲面族或更一般配置的推广。

提出的方法

• 使用多项式分划技术将空间分解为若干细胞，每个细胞包含有界数量的点和球面。
• 将关联数划分为两部分：$I_0(P,S)$，统计未由大尺寸完全二部子图解释的‘偶然’关联；以及对曲面 $V$ 中包含的每个圆 $c$ 求和，其中 $P_c \times S_c$ 表示由完全位于 $V$ 内且同时位于多个球面中的圆所诱导的关联。
• 通过归纳法和分划分析推导出 $I_0(P,S)$ 的界，得到 $O(m^{2/3}n^{2/3} + m^{1/2}n^{7/8}\log^\beta(m^4/n) + m + n + \sum_c |P_c|\cdot|S_c|)$，其中 $\beta$ 与常数依赖于曲面的次数。
• 分析中考虑了所有圆 $c$ 的 $\sum_c |P_c| = O(m)$ 和 $\sum_c |S_c| = O(n)$，确保总贡献保持有界。
• 该方法可推广至不局限于曲面的任意点集，通过消除对球面非退化性的假设，改进了 Apfelbaum 和 Sharir 的界。
• 该方法结合了代数几何、多项式法与组合关联理论的工具，以处理具有结构的点-球面配置。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{R}^3$ 中，位于常数次代数曲面上的 $n$ 个点所确定的互异距离的最小数量是多少？
• RQ2 能否在三维空间中，将此类曲面上的单位距离数量的界收紧至优于一般 $O(n^{3/2})$ 的界？
• RQ3 当点位于曲面上时，如何改进点-球面关联数的界，特别是当球面允许退化或半径任意时？
• RQ4 该关联界能否推广至更高维的代数曲面族或更一般的配置？
• RQ5 这些关联界对无曲面约束的三维空间中互异距离与单位距离问题的更广泛问题有何影响？

主要发现

• 在 $\mathbb{R}^3$ 中，位于常数次代数曲面上的 $n$ 个点所确定的互异距离数量至少为 $\Omega(n^{7/9}/{\rm polylog}\,n)$，显著优于一般三维点集的猜想下界 $\Omega(n^{2/3})$。
• 在该类曲面上，$n$ 个点所确定的单位距离数量为 $O(n^{4/3})$，与目前已知的最佳平面界一致，且在最坏情况下是紧致的。
• 建立了 $m$ 个点与 $n$ 个球面在 $\mathbb{R}^3$ 中的改进关联界：$O(m^{2/3}n^{2/3} + m^{1/2}n^{7/8}\log^\beta(m^4/n) + m + n + \sum_c |P_c|\cdot|S_c|)$，其中 $c$ 遍历完全位于曲面上的圆。
• 所有圆 $c$ 的 $|P_c|$ 之和为 $O(m)$，$|S_c|$ 之和为 $O(n)$，确保该界保持高效且结构清晰。
• 该界通过消除对球面非退化性的假设（如 Apfelbaum 和 Sharir [5] 所要求的）而优于先前结果，适用于任意半径。
• 该方法推广了 Zahl 的结果 [42]，其主导项与他的界一致，但无需要求关联图避免固定大小的完全二部子图。