[论文解读] Distinguished tame supercuspidal representations

Jeffrey Hakim, Fiona Murnaghan|ArXiv.org|Sep 21, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 26被引用 6

一句话总结

本文利用对称空间理论与特殊表示技术，建立了李群 $p$-进域上久康·余的 tame 超临界表示等价性的必要与充分条件。结果表明，两个此类表示等价当且仅当其关联的 $G$-数据在 $G$-等价意义下等价，关键条件包括 $K$-等价性、对偶兼容性以及对合作用下的不变性，从而解决了超临界表示构造中的一个基本问题。

ABSTRACT

This paper studies the behavior of Jiu-Kang Yu's tame supercuspidal representations relative to involutions of reductive p-adic groups. Symmetric space methods are used to illuminate various aspects of Yu's construction. Necessary conditions for a tame supercuspidal representation of G to be distinguished by (the fixed points of) an involution of G are expressed in terms of properties of the G-orbit of the associated G-datum. When these conditions are satisfied, the question of whether a tame supercuspidal representation is distinguished reduces to the question of whether certain cuspidal representations of finite groups of Lie type are distinguished relative to particular quadratic characters. As an application of the main results, we obtain necessary and sufficient conditions for equivalence of two of Yu's supercuspidal representations associated to distinct G-data.

研究动机与目标

• 确定通过余方法构造的两个 tame 超临界表示等价的必要与充分条件。
• 分析这些表示在约化 $p$-进群 $G$ 的对合作用下的行为，特别关注 $G^\theta$-特殊表示。
• 阐明 $G$-数据的结构及其在确定表示等价性中的作用，尤其从海森堡 $p$-群与对偶表示的视角出发。
• 应用对称空间与调和分析技术，理解对合作用下 $G$-数据的轨道结构。
• 通过刻画不同 $G$-数据产生等价表示的情形，解决余构造中的纤维问题。

提出的方法

• 利用对称空间方法研究对合 $\theta$ 在 $G$ 上的作用，聚焦于表示上 $G^\theta$-不变线性泛函。
• 应用 $\mathbb{F}_p$ 上的海森堡表示理论，分析与一般 cuspidal $G$-数据 $\Psi$ 关联的紧开子群 $K(\Psi)$ 及其表示 $\kappa(\Psi)$。
• 采用 Moy-Prasad 滤子与扭李子群序列，分析 $K(\Psi)$ 及其 $\theta$-固定子群的结构。
• 通过二次特征标将 $G^\theta$-特殊性问题约化为典型型有限群表示的特殊性问题。
• 利用 $G$-数据的重构与 $K$-等价性，比较源自不同 $G$-数据的表示。
• 应用 $\theta$-对称与弱 $\theta$-对称重构理论，通过共轭与对合关系关联 $K(\Psi)$ 与 $K(\dot{\Psi})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当两个 tame 超临界表示关联于不同的 $G$-数据时，它们在何时等价？
• RQ2 在何种条件下，一个 tame 超临界表示对给定对合 $\theta$ 是 $G^\theta$-特殊的？
• RQ3 $G$-数据的 $G$-轨道如何与关联表示的特殊性及等价性相关联？
• RQ4 海森堡 $p$-群及其对偶在决定 $\kappa(\Psi)$ 与 $\kappa(\dot{\Psi})$ 等价性中起什么作用？
• RQ5 在何种条件下，$\operatorname{Hom}_{G^\theta}(\pi,1)$ 的维数非零，其中 $\pi$ 为一个 tame 超临界表示？

主要发现

• 两个 tame 超临界表示 $\pi(\Psi)$ 与 $\pi(\dot{\Psi})$ 等价当且仅当其关联的 $G$-数据 $\Psi$ 与 $\dot{\Psi}$ 在 $G$-等价意义下等价，如定理 6.6 所述。
• $\kappa(\Psi)$ 与 $\kappa(\dot{\Psi})$ 的等价性蕴含 $K(\Psi) = K(\dot{\Psi})$ 且 $\rho'(\Psi) \simeq \rho'(\dot{\Psi})$，后者条件源于关联线性泛函的 $\theta$-不变性。
• 对于一个 tame 超临界表示 $\pi$，$\operatorname{Hom}_{G^\theta}(\pi,1)$ 的维数由定理 5.26 中的公式给出，其依赖于 $G$-数据的 $G$-轨道及有限群表示的特殊性。
• 若 $K^0(\Psi) = K^0(\dot{\Psi})$ 且 $\rho'(\Psi) \simeq \rho'(\dot{\Psi})$，则 $\Psi$ 与 $\dot{\Psi}$ 是 $K(\Psi)$-等价的，这是证明定理 6.6 的关键步骤。
• 若存在 $\underline{\Psi} = (\Psi, \dot{\Psi})$ 的弱 $\theta$-对称重构，则在 $[y] = [\dot{y}]$ 条件下，有 $K(\Psi) = K(\dot{\Psi})$ 且 $\kappa(\Psi) \simeq \kappa(\dot{\Psi})$。
• $\pi(\Psi^0)$ 与 $\pi(\dot{\Psi}^0)$ 在 $G^0$ 上的等价性蕴含存在 $h \in G^0$，使得 $K(\Psi^0) = {}^hK(\dot{\Psi}^0)$ 且 $\rho'(\Psi^0) \simeq {}^h\rho'(\dot{\Psi}^0)$，从而完成等价性链的构建。