[论文解读] Distinguished theta representations for Brylinski-Deligne covering groups

Fan Gao|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文确定了在分裂半单代数群的Brylinski-Deligne覆盖群上，与例外真实特征相关的θ表示何时被区分，即存在一维的Whittaker泛函空间。研究建立了Whittaker泛函维数的有效界，将问题简化为Kazhdan-Patterson覆盖或伴随型对偶群等情形下的组合计算，并为单连通覆盖群提供了区分性的必要与充分条件，同时考虑了秩与覆盖度之间的相互作用。

ABSTRACT

For Brylinski-Deligne covering groups of an arbitrary split reductive group, we consider theta representations attached to certain exceptional genuine characters. The goal of the paper is to determine when a theta representation has exactly a one-dimensional space of Whittaker functionals, in which case it is called distinguished. For this purpose, we first give effective lower and upper bounds for the dimension of Whittaker functionals for general theta representations. As a consequence, the dimension in many cases can be reduced to simple combinatorial computations, e.g., the Kazhdan-Patterson covering groups, or covering groups whose complex dual group is of adjoint type. In the second part of the paper, we consider covering groups of certain simply-connected groups and give necessary and sufficient condition for the theta representation to be distinguished. There are subtleties arising from the relation between the rank and the degree of the covering group. However, in each case we will determine the exceptional character such that its associated theta representation is distinguished.

研究动机与目标

• 确定与例外真实特征相关的θ表示何时被区分，即具有恰好一维的Whittaker泛函空间。
• 为Brylinski-Deligne覆盖群上的一般θ表示的Whittaker泛函维数建立有效的下界与上界。
• 在特定情形（如Kazhdan-Patterson覆盖或伴随型对偶群）中，将Whittaker泛函维数的计算简化为组合问题。
• 刻画使单连通分裂半单代数群的覆盖群上的θ表示被区分的例外特征。
• 解决由覆盖群的秩与度之间的相互作用所引发的细微问题，这些作用影响了区分性的判定。

提出的方法

• 利用表示论技巧与Brylinski-Deligne覆盖的结构理论，推导Whittaker泛函维数的一般界。
• 将这些界应用于将区分性问题简化为组合数据，特别是在已知对偶群结构的情形下。
• 利用真实特征及其相关θ级数的理论来分析Whittaker泛函。
• 分析单连通分裂半单代数群的覆盖群结构，特别关注覆盖度相对于秩的作用。
• 运用对偶性与特征理论，识别出使θ表示被区分的例外特征。
• 利用根系与覆盖数据之间的相互作用，分类出Whittaker空间为一维的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些例外真实特征，其关联的θ表示是被区分的，即具有一维Whittaker空间？
• RQ2 如何为Brylinski-Deligne覆盖群上的一般θ表示有效界定Whittaker泛函空间的维数？
• RQ3 在何种情形下，区分性问题可简化为组合计算，例如Kazhdan-Patterson覆盖或伴随型对偶群？
• RQ4 在单连通覆盖群中，决定区分性的覆盖度与群的秩之间的确切关系为何？
• RQ5 哪些例外特征会导致单连通分裂半单代数群的覆盖群上产生被区分的θ表示？

主要发现

• 建立了Whittaker泛函维数的有效下界与上界，使得在许多情形下可将其简化为组合问题。
• 对于Kazhdan-Patterson覆盖群以及具有伴随型复对偶群的覆盖群，Whittaker泛函维数可简化为简单的组合计算。
• 为单连通分裂半单代数群的覆盖群上的θ表示被区分，给出了必要与充分条件。
• 区分性在很大程度上取决于群的秩与覆盖度之间的相互作用，且该关系中存在细微之处。
• 在每种情形下，明确确定了产生被区分θ表示的例外特征，从而解决了分类问题。
• 结果对单连通情形下的被区分θ表示提供了完整刻画，包括覆盖群结构的作用。