[论文解读] Distributed inner product estimation with limited quantum communication

Srinivasan Arunachalam, Louis Schatzki|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2024

Quantum Information and Cryptography被引用 1

一句话总结

该论文在有限量子通信条件下，为分布式量子内积估计建立了紧致的样本复杂度界限。当爱丽丝和鲍勃共享k份n量子比特态并仅交换q量子比特时，估计|⟨ψ|φ⟩|²至常数精度所需的样本数k为Θ(√(2ⁿ⁻⁹))。对于一般的厄米特算符M，样本复杂度由∥Mε∥₂/ε和1/ε²表征，表明当M在其高幅值本征值子空间中具有低秩结构时，估计任务显著更简单。

ABSTRACT

In this work, we consider the fundamental task of distributed inner product estimation when allowed limited communication. Suppose Alice and Bob are given k copies of an unknown n-qubit quantum state |ψ⟩,|ϕ⟩ respectively, are allowed to send q qubits to one another, and the task is to estimate |⟨ψ|ϕ⟩|² up to constant additive error. We show that k = Θ(√{2^{n-q}}) copies are essentially necessary and sufficient for this task (extending the work of Anshu, Landau and Liu (STOC'22) who considered the case when q = 0). Additionally, we also consider the task when the goal of the players is to estimate |⟨ψ|M|ϕ⟩|², for arbitrary Hermitian M. For this task we show that certain norms on M determine the sample complexity of estimating |⟨ψ|M|ϕ⟩|² when using only classical communication.

研究动机与目标

• 确定在仅允许交换q量子比特的量子通信条件下，爱丽丝和鲍勃为以常数精度估计|⟨ψ|φ⟩|²，所需未知n量子比特态|ψ⟩和|φ⟩的最小样本数k。
• 将内积估计任务推广至任意厄米特算符M，并在局部操作与经典通信（LOCC）下表征估计|⟨ψ|M|φ⟩|²的样本复杂度。
• 解决分布式量子态验证与性质估计中量子通信成本与样本复杂度之间权衡的开放问题。
• 建立样本复杂度的近似最优上下界，其依赖于M在幅值≥ε/2的本征值子空间上的谱范数。

提出的方法

• 提出一种新颖的交互式协议，结合LOCC与q量子比特的量子通信，通过限制量子信息交换的改进型交换测试来估计|⟨ψ|φ⟩|²。
• 应用利维引理与单位球面上的测度集中性，通过归约至一个困难的区分问题，推导样本复杂度的下界。
• 引入一个涉及哈尓随机态与相位角的结构化是/否实例问题，以在LOCC下模拟内积估计任务。
• 通过利用迹泛函的利普希茨连续性，分析估计器在态重叠与相位差扰动下的行为。
• 通过将M分解为幅值≥ε/2的本征值子空间，聚焦于谱范数∥Mε∥₂，推导出紧致的上下界。
• 结合上下界，证明样本复杂度为Ω(max{1/ε², ∥Mε∥₂²/√ε})和O(max{1/ε², ∥Mε∥₂²/ε})，适用于ε-近似估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 当爱丽丝和鲍勃可交换q量子比特但不足以实现量子隐形传态时，估计|⟨ψ|φ⟩|²的最优样本复杂度是多少？
• RQ2 当M为任意厄米特算符而非单位算符时，LOCC下估计|⟨ψ|M|φ⟩|²的样本复杂度如何变化？
• RQ3 当M在其高幅值本征值子空间中具有低秩结构时，样本复杂度是否可显著降低？
• RQ4 谱范数∥Mε∥₂在LOCC下决定|⟨ψ|M|φ⟩|²估计难度方面起什么作用？
• RQ5 在分布式量子态比较中，是否存在量子通信成本与样本复杂度之间的平滑权衡？

主要发现

• 当允许交换q量子比特时，以常数精度估计|⟨ψ|φ⟩|²的样本复杂度为Θ(√(2ⁿ⁻⁹))，表明在q=0与q=n两种情形之间实现了平滑插值。
• 当q=0（仅允许经典通信）时，样本复杂度为Θ(√(2ⁿ))，与Anshu等（2022）的结果一致。
• 对于一般厄米特算符M，LOCC下ε-近似估计|⟨ψ|M|φ⟩|²的样本复杂度为O(max{1/ε², ∥Mε∥₂²/ε})，为近似最优。
• 下界为Ω(max{1/ε², ∥Mε∥₂²/√ε})，表明复杂度关键依赖于M在幅值≥ε/2的本征值子空间上的谱范数。
• 结果表明，当M在其高幅值本征值子空间中具有低秩结构时，估计比完整量子态层析重建指数级更简单。
• 该论文解决了分布式量子态验证与性质估计中量子通信与样本复杂度之间权衡的开放问题。