[论文解读] Distributed shape derivative via averaged adjoint method and applications

Antoine Laurain, Kevin Sturm|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2015

Numerical methods in engineering参考文献 28被引用 15

一句话总结

本文提出了一种新颖的平均伴随法来计算分布形状梯度，为传统基于边界形状梯度提供了一种更通用且数值更稳定的替代方法。该方法在形状优化和电场阻抗断层扫描（EIT）中表现出色，即使在存在噪声的情况下也能实现快速收敛（约340次迭代）和高精度重建。

ABSTRACT

The structure theorem of Hadamard-Zolésio states that the derivative of a shape functional is a distribution on the boundary of the domain depending only on the normal perturbations of a smooth enough boundary. Actually the domain representation, also known as distributed shape derivative, is more general than the boundary expression as it is well-defined for shapes having a lower regularity. It is customary in the shape optimization literature to assume regularity of the domains and use the boundary expression of the shape derivative for numerical algorithms. In this paper we describe several advantages of the distributed shape derivative in terms of generality, easiness of computation and numerical implementation. We identify a tensor representation of the distributed shape derivative, study its properties and show how it allows to recover the boundary expression directly. We use a novel Lagrangian approach, which is applicable to a large class of shape optimization problems, to compute the distributed shape derivative. We also apply the technique to retrieve the distributed shape derivative for electrical impedance tomography. Finally we explain how to adapt the level set method to the distributed shape derivative framework and present numerical results.

研究动机与目标

• 解决在低正则性区域和非光滑数据设置下基于边界的形状梯度的局限性。
• 通过使用域积分而非边界积分，提供一种更通用且数值更稳定的形状梯度公式。
• 通过在整个域上定义形状梯度，实现与水平集方法的无缝集成。
• 展示该方法在求解电场阻抗断层扫描（EIT）中严重不适定的逆问题方面的有效性。

提出的方法

• 开发一种张量表示法，统一边界和域表达式中的分布形状梯度。
• 提出一种基于新拉格朗日框架的平均伴随法，以高效计算分布形状梯度。
• 使用线性拉格朗日单元的有限元方法对形状梯度进行离散化，并求解下降方向的PDE。
• 在基于梯度的优化算法中采用Armijo线搜索进行步长控制。
• 将水平集方法扩展至直接作用于分布形状梯度，实现在无需重新剖分的情况下进行域级更新。
• 在EIT中利用多个通量测量，以重建具有不同噪声水平的包含物。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在拉格朗日框架下高效且准确地计算分布形状梯度？
• RQ2 在数值稳定性和精度方面，分布形状梯度与边界表达式相比表现如何？
• RQ3 平均伴随法能否推广至广泛类别的形状优化问题？
• RQ4 分布形状梯度在求解电场阻抗断层扫描的逆问题方面效果如何？
• RQ5 在EIT中存在噪声测量时，该方法的收敛行为和鲁棒性如何？

主要发现

• 分布形状梯度相较于边界表达式提供了更通用且更鲁棒的公式，尤其适用于非光滑或低正则性区域。
• 通过直接在网格上计算梯度，避免了界面上的插值误差，从而在传输问题中提高了数值精度。
• 在EIT中对两个椭圆的重建，平均仅需3次测量和340次迭代，即使在7%噪声下也实现了高精度。
• 对于三个包含物，使用7次测量和1.55%噪声，方法在371次迭代内实现了接近真实的重建。
• 与现有水平集方法相比，该算法收敛更快——约300次迭代，而以往工作需2000至50000次迭代。
• 该方法对噪声具有鲁棒性，在EIT问题严重不适定的背景下仍能保持良好的重建质量。