[论文解读] Distribution of Energy and Convergence to Equilibria in Extended Dissipative Systems

Thierry Gallay, Siniša Slijepčević|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2012

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 16被引用 5

一句话总结

该论文建立了在由局部能量耗散律 $\partial_t e = \mathrm{div}_x f - d$ 控制的扩展耗散系统中时间积分能量通量的通用界，其中 $|f|^2 \leq b(e)d$。当 $N \leq 2$ 时，证明了任意相对紧致轨迹在时间平均下收敛于平衡态集合，该结果应用于 $\mathbb{R} \times \mathbb{T}$ 上的纳维-斯托克斯方程，表明当时间被平均后，大子域上的涡度均匀收敛于零。

ABSTRACT

We are interested in understanding the dynamics of dissipative partial differential equations on unbounded spatial domains. We consider systems for which the energy density $e \ge 0$ satisfies an evolution law of the form $\partial_t e = div_x f - d$, where $-f$ is the energy flux and $d \ge 0$ the energy dissipation rate. We also suppose that $|f|^2 \le b(e)d$ for some nonnegative function $b$. Under these assumptions we establish simple and universal bounds on the time-integrated energy flux, which in turn allow us to estimate the amount of energy that is dissipated in a given domain over a long interval of time. In low space dimensions $N \le 2$, we deduce that any relatively compact trajectory converges on average to the set of equilibria, in a sense that we quantify precisely. As an application, we consider the incompressible Navier-Stokes equation in the infinite cylinder $\R imes \T$, and for solutions that are merely bounded we prove that the vorticity converges uniformly to zero on large subdomains, if we disregard a small subset of the time interval.

研究动机与目标

• 理解在无界区域上总能量不守恒的耗散 PDE 的长期动力学行为。
• 识别在缺乏全局李雅普诺夫函数时解收敛至平衡态的条件。
• 将先前关于反应-扩散方程与阻尼波动方程的结果推广至具有局部能量耗散的广泛系统类。
• 以在紧致空间区域上的时间平均行为来量化收敛至平衡态的程度。
• 将抽象框架应用于不可压缩纳维-斯托克斯方程在 $\mathbb{R} \times \mathbb{T}$ 上的情形，证明在时间平均下大子域上涡度的均匀衰减。

提出的方法

• 通过 $\partial_t e = \mathrm{div}_x f - d$ 形式化能量平衡，其中 $e \geq 0$，$f$ 为能量通量，$d \geq 0$ 为耗散率。
• 施加结构条件 $|f|^2 \leq b(e)d$，其中 $b$ 为非负函数，推广经典情形 $|f|^2 \leq C e d$。
• 推导在空间区域上时间积分能量通量的通用、与模型无关的界。
• 利用这些界估计在长时间区间和紧致空间区域上的能量耗散。
• 通过常微分方程比较技术分析解的渐近行为，特别关注能量通量的径向剖面。
• 建立关键常微分方程 $h' = 2h^2 - \frac{N-1}{r}h + \frac{N-1}{r^2}$ 的解的唯一性与阈值行为，其与修正贝塞尔函数相关。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无界区域上的耗散系统在何种条件下即使总能量不守恒，仍表现出收敛至平衡态？
• RQ2 如何在不依赖全局能量衰减的前提下，对扩展耗散系统中的时间积分能量通量进行界定？
• RQ3 空间维数 $N$ 在此类系统的长期动力学中起何种作用，特别是区分 $N \leq 2$ 与 $N > 2$ 的情形？
• RQ4 该抽象框架能否应用于 $\mathbb{R} \times \mathbb{T}$ 上的不可压缩纳维-斯托克斯方程，以推导涡度收敛于零？
• RQ5 在球对称情形下，能量通量剖面的精确渐近行为是什么，其如何决定整体解的性质？

主要发现

• 当 $N \leq 2$ 时，任意相对紧致轨迹在时间平均下收敛于平衡态集合，且在紧致空间区域上的收敛性可统一量化。
• 在条件 $|f|^2 \leq b(e)d$ 下，时间积分能量通量具有与具体系统无关的通用界。
• 当 $N=2$ 时，径向能量通量剖面 $h_N(r)$ 满足 $h_2(r) \sim r \log(1/r)$ 当 $r \to 0^+$，并具有显式的对数校正项。
• 常微分方程 $h' = 2h^2 - \frac{N-1}{r}h + \frac{N-1}{r^2}$ 的唯一正解为 $h_N(r) = \frac{K_{N/2}(r)}{K_{N/2 - 1}(r)}$，将通量与修正贝塞尔函数联系起来。
• 从 $h_N$ 之上或之下的解在有限 $r$ 内爆炸或变号，从而证明了正全局解的唯一性。
• 对于 $\mathbb{R} \times \mathbb{T}$ 上的不可压缩纳维-斯托克斯方程，有界解满足 $\|\omega(t)\|_{L^\infty} \to 0$ 在时间平均下于大子域上一致收敛，即使逐点收敛不成立。