[论文解读] Divergence-free H(div)-conforming hierarchical bases for magnetohydrodynamics (MHD)

Wei Cai, Jian Wu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2012

Electromagnetic Scattering and Analysis参考文献 21被引用 7

一句话总结

本文提出一种用于磁流体动力学（MHD）的新型分层 H(div)-符合有限元基函数，通过在每个单元中添加高阶内部气泡函数，精确满足磁感应强度的散度为零条件。该方法通过法向连续性和气泡函数法向通量为零，确保局部与全局的散度为零条件，数值结果表明，对于三角形单元最高至四阶、四面体单元最高至三阶的近似，质量矩阵与刚度矩阵均保持良好条件性。

ABSTRACT

In order to solve the magnetohydrodynamics (MHD) equations with a $\mathbf{\mathcal{H}}(\mathbf{div})$-conforming element, a novel approach is proposed to ensure the exact divergence-free condition on the magnetic field. The idea is to add on each element an extra interior bubble function from higher order hierarchical $\mathbf{\mathcal{H}}(\mathbf{div})$-conforming basis. Four such hierarchical bases for the $\mathbf{\mathcal{H}}% (\mathbf{div})$-conforming quadrilateral, triangular, hexahedral and tetrahedral elements are either proposed (in the case of tetrahedral) or reviewed. Numerical results have been presented to show the linear independence of the basis functions for the two simplicial elements. Good matrix conditioning has been confirmed numerically up to the fourth order for the triangular element and up to the third order for the tetrahedral element.

研究动机与目标

• 开发一种稳健的 H(div)-符合有限元方法，用于求解具有精确散度为零磁感应强度的 MHD 方程。
• 解决先前分层 H(div) 基函数在二次近似中因线性相关性而失效的问题。
• 通过在单元内部定义在边界上为零的气泡函数，实现局部散度为零的强制。
• 证明所提出的基函数在单纯形单元上的线性无关性及良好矩阵条件性。
• 为使用 H(div)-符合单元实现高阶、稳定且精确的 MHD 模拟提供基础。

提出的方法

• 在参考单元框架下，为四边形、三角形、六面体和四面体单元引入一种新型分层 H(div)-符合基函数。
• 采用基于边和面的自由度，并通过 Piola 变换适用于一般网格，确保单元界面间的法向连续性。
• 在 p 阶 H(div) 基函数中增加 (p+1) 阶内部气泡函数，以在每个单元上强制局部散度为零条件。
• 该气泡函数在所有单元边界上法向分量为零，从而保持法向连续性，并实现全局散度为零的磁场。
• 采用分层构造方式，包含节点、边和面基函数，以及用于切向分量的高阶矩。
• 利用质量矩阵与刚度矩阵对条件性进行数值评估，条件数定义为最大特征值与最小特征值的比值。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为四面体单元构造一种分层 H(div)-符合基函数，以避免先前方法中在二次近似下出现的线性相关性问题？
• RQ2 如何在保持法向连续性的前提下，在单元层面精确强制磁感应强度的散度为零条件？
• RQ3 对于高阶近似，所得质量矩阵与刚度矩阵的条件性行为如何？
• RQ4 引入更高阶内部气泡函数是否能保持基函数的线性无关性与稳定性？
• RQ5 所提出的方法是否能在实际 MHD 模拟中实现最高至高阶多项式阶次（三角形单元 p=4，四面体单元 p=3）的良好矩阵条件性？

主要发现

• 所提出的四面体单元分层 H(div) 基函数具有线性无关性，质量矩阵条件数在 p=4 时仍为有限值，得到验证。
• 对于三角形单元，当 p=4 时，质量矩阵条件数保持在 1.286×10⁴，刚度矩阵条件数为 8.843×10³，表明条件性良好。
• 对于四面体单元，当 p=3 时，质量矩阵与刚度矩阵均保持良好条件性，条件数分别为 3.412×10⁶ 和 1.094×10⁶。
• 在 p=2 时，第一类基于边的面基函数的条件性更优（质量矩阵条件数 6.987×10³），优于第二类（7.733×10⁴）。
• 在 p=4 时，第二类基于边的面基函数提供更优条件性（质量矩阵条件数 2.717×10⁷），优于第一类（5.972×10⁹）。
• 通过将法向连续的 p 阶基函数与在单元边界上法向通量为零的 (p+1) 阶内部气泡函数相结合，该方法确保了全局散度为零的磁感应强度。