[论文解读] Divergence-free Reconstruction Operators for Pressure-Robust Stokes Discretizations With Continuous Pressure Finite Elements

Philip L. Lederer, Alexander Linke+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 28被引用 1

一句话总结

本文为具有连续压力空间的Taylor-Hood和mini有限元提出了一种新型无散度速度重构算子，实现了压力鲁棒的Stokes离散化。通过在顶点剖分上局部平衡通量，并利用H(div)-符合重构实现正交性，该方法实现了最优收敛性，并消除了与压力相关的速度误差，在具有大连续压力的数值实验中显著优于经典版本。

ABSTRACT

Classical inf-sup stable mixed finite elements for the incompressible (Navier-)Stokes equations are not pressure-robust, i.e., their velocity errors depend on the continuous pressure. However, a modification only in the right hand side of a Stokes discretization is able to reestablish pressure-robustness, as shown recently for several inf-sup stable Stokes elements with discontinuous discrete pressures. In this contribution, this idea is extended to low and high order Taylor-Hood and mini elements, which have continuous discrete pressures. For the modification of the right hand side a velocity reconstruction operator is constructed that maps discretely divergence-free test functions to exactly divergence-free ones. The reconstruction is based on local $H(\mathrm{div})$-conforming flux equilibration on vertex patches, and fulfills certain orthogonality properties to provide consistency and optimal a-priori error estimates. Numerical examples for the incompressible Stokes and Navier-Stokes equations confirm that the new pressure-robust Taylor-Hood and mini elements converge with optimal order and outperform significantly the classical versions of those elements when the continuous pressure is comparably large.

研究动机与目标

• 解决经典Taylor-Hood和mini有限元在连续压力下缺乏压力鲁棒性的问题。
• 开发一种速度重构算子，将离散无散度测试函数映射为精确无散度的函数。
• 通过将正交性和相容性性质融入重构过程，确保最优收敛性和一致性。
• 通过右端项修改实现压力鲁棒性，而无需改变刚度矩阵。
• 将此前仅限于不连续压力单元的压力鲁棒框架，扩展至符合连续压力的有限元方法。

提出的方法

• 基于顶点剖分上的局部H(div)-符合通量平衡，构造基于Rh的速度重构算子。
• 通过保持离散散度并确保相容性的局部离散问题定义重构过程。
• 利用泡沫投影算子、平均算子以及Koszul复形性质，强制实现所需的正交性和相容性条件。
• 将H1-符合的速度测试函数映射为精确无散度的H(div)-符合函数。
• 通过在Stokes变分形式的右端项中使用Rh实现压力鲁棒性。
• 确保重构过程保持离散LBB条件，并继承原方法的刚度矩阵。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过右端项修改，在具有连续离散压力的Taylor-Hood和mini单元上实现压力鲁棒性？
• RQ2 在连续压力设置下，如何构造一种速度重构算子，将离散无散度函数精确映射为无散度函数？
• RQ3 在顶点剖分上采用何种局部问题公式可确保重构算子的最优收敛性和相容性？
• RQ4 所提方法在Stokes和Navier-Stokes问题中是否均保持最优收敛率？
• RQ5 当连续压力较大时，该改进方法与经典方法相比性能如何？

主要发现

• 即使在存在大连续压力的情况下，改进后的Taylor-Hood和mini单元在速度上仍达到最优H1收敛阶，在压力上达到最优L2收敛阶。
• 对于k=4的Taylor-Hood单元，在包含7,572自由度的网格上，速度误差降至3.66×10−12，表明当精确解属于离散空间时，已接近机器精度。
• 在具有大连续压力的问题中，该方法显著优于经典版本，后者因压力相关的速度误差而性能下降。
• 数值实验表明，网格加密无法修复经典方法中的速度误差，而改进方法始终保持最优收敛性。
• 在Navier-Stokes势流算例中，使用Rh的非标准离散化在精确解属于离散空间时完全消除了速度误差，而标准方法则不能。