[论文解读] Dividing Line between Decidable PDA's and Undecidable Ones

Yuxi Fu, Qiang Yin|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2014

Formal Methods in Verification参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文通过分析结构变体，特别是 $ϵ$-pushing 和 $ϵ$-popping 转移，精确界定了推进下推自动机（PDA）中可判定与不可判定分支 bisimilarity 问题的边界。研究证明，对于 $ϵ$-pushing PDA 和规范 PDA，分支 bisimilarity 是 $Σ^1_1$-完全的，涵盖了先前的可判定性结果，并明确了可判定性与不可判定性之间的清晰分界线。

ABSTRACT

Senizergues has proved that language equivalence is decidable for disjoint epsilon-deterministic PDA. Stirling has showed that strong bisimilarity is decidable for PDA. On the negative side Srba demonstrated that the weak bisimilarity is undecidable for normed PDA. Later Jancar and Srba established the undecidability of the weak bisimilarity for disjoint epsilon-pushing PDA and disjoint epsilon-popping PDA. These decidability and undecidability results are extended in the present paper. The extension is accomplished by looking at the equivalence checking issue for the branching bisimilarity of several variants of PDA.

研究动机与目标

• 通过分析结构变体，确定 PDA 中分支 bisimilarity 的精确可判定性边界。
• 通过考虑 $ϵ$-pushing 和 $ϵ$-popping PDA 变体，扩展先前的可判定性结果（如 Sénizergues 和 Stirling 的结果）。
• 通过建立紧致的上下界，确定 PDA 中分支 bisimilarity 的复杂度。
• 通过过程理论框架，统一并推广先前关于 PDA 中语言等价性和强 bisimilarity 的结果。
• 阐明结构约束（如不相交性、$ϵ$-确定性，以及 $ϵ$-pushing/popping）在决定可判定性中的作用。

提出的方法

• 作者将 $ϵ$-pushing PDA 定义为那些静默转移至少向栈中推送一个符号的 PDA（即 $|α| \geq 1$），而 $ϵ$-popping PDA 则是那些静默转移最多推送一个符号的 PDA（即 $|α| \leq 1$）。
• 他们使用博弈论编码方法，将图灵机的停机问题归约为 $ϵ$-pushing PDA 中的分支 bisimilarity，构造了一个过程 $Γ$，用于模拟攻击者与防守者之间的博弈。
• 该构造将一个 2NEXPTIME-完全的博弈编码为具有 $ϵ$-pushing 转移的 PDA，其中无限计算的存在性对应于两个初始状态之间的 bisimilarity。
• 该证明利用了表列法和过程代数技术，特别是分支 bisimilarity，以分析 PDA 转移的结构。
• 他们证明，$ϵ$-pushing PDA 上的分支 bisimilarity 可在一阶算术中定义，因此属于 $Σ^1_1$。
• 通过从一个已知的不可判定问题进行归约，他们证明了 $ϵ$-pushing PDA 和规范 PDA 上的分支 bisimilarity 是 $Σ^1_1$-完全的，从而建立了紧致的复杂度界。

实验结果

研究问题

• RQ1 PDA 变体中分支 bisimilarity 的可判定性与不可判定性之间的精确边界是什么？
• RQ2 规范 PDA 中强 bisimilarity 的可判定性与 DPDA 中语言等价性的可判定性，能否在单一复杂度理论框架下统一？
• RQ3 $ϵ$-pushing PDA 中的分支 bisimilarity 是否可判定？若不可判定，其精确复杂度是什么？
• RQ4 结构约束（如 $ϵ$-pushing、$ϵ$-popping 和不相交性）如何影响 bisimilarity 的可判定性？
• RQ5 PDA 中分支 bisimilarity 的复杂度能否被紧致界定？其与强 bisimilarity 和语言等价性已知结果的比较如何？

主要发现

• 对于 $ϵ$-pushing PDA，分支 bisimilarity 是 $Σ^1_1$-完全的，确立了明确的不可判定性边界。
• 该结果涵盖了所有先前的可判定性结果，包括 Sénizergues 对不相交 $ϵ$-确定性 PDA 语言等价性可判定性的证明，以及 Stirling 对规范 PDA 强 bisimilarity 可判定性的证明。
• 不相交 $ϵ$-pushing 和 $ϵ$-popping PDA 中弱 bisimilarity 的不可判定性被推广，并被置于 $Σ^1_1$-完全复杂度类中。
• 该证明使用了博弈论编码，将一个 2NEXPTIME-完全问题归约为 $ϵ$-pushing PDA 中的分支 bisimilarity，表明该问题在 $Σ^1_1$ 中是完全的。
• 规范 PDA 中分支 bisimilarity 的复杂度也被证明是 $Σ^1_1$-完全的，扩展了先前关于不可判定性的结果。
• 本文使用的 PDA 结构定义允许比先前方法更简单、更通用的证明，暗示其在第一阶语法中的更广泛应用潜力。