[论文解读] Double variational principle for mean dimension

Elon Lindenstrauss, Masaki Tsukamoto|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 34被引用 5

一句话总结

该论文建立了一个双变分原理，将动力系统中的平均维数与率失真理论联系起来，证明对于具有标记性质的系统，平均维数等于在度量和不变测度上率失真维数的极小极大值。该结果统一了遍历理论、率失真理论与几何测度论，表明平均维数由度量选择与测度论复杂性之间的最优权衡所表征。

ABSTRACT

We develop a variational principle between mean dimension theory and rate distortion theory. We consider a minimax problem about the rate distortion dimension with respect to two variables (metrics and measures). We prove that the minimax value is equal to the mean dimension for a dynamical system with the marker property. The proof exhibits a new combination of ergodic theory, rate distortion theory and geometric measure theory. Along the way of the proof, we also show that if a dynamical system has the marker property then it has a metric for which the upper metric mean dimension is equal to the mean dimension.

研究动机与目标

• 建立一个变分原理，将拓扑动力系统中的平均维数与信息论中的率失真维数联系起来。
• 解决通过信息论量刻画平均维数的挑战，鉴于其无法被纯粹的测度论不变量所捕捉。
• 证明对于具有标记性质的系统，平均维数等于在所有相容度量与不变测度上率失真维数的极小极大值。
• 证明此类系统存在一种度量，使得上度量平均维数等于平均维数。
• 在新颖的框架下统一遍历理论、率失真理论与几何测度论的技术。

提出的方法

• 在度量 $d \in \mathscr{D}(\mathcal{X})$ 与不变测度 $\mu \in \mathscr{M}^T(\mathcal{X})$ 上构造一个极小极大问题，以定义双变分原理。
• 使用率失真维数 $\mathrm{rdim}(\mathcal{X},T,d,\mu)$ 作为信息论量，其通过率失真函数 $R(d,\mu,\varepsilon)$ 在 $\varepsilon \to 0$ 时的渐近缩放行为来定义。
• 应用几何测度论工具，包括在平均度量 $\bar{d}_N$ 下对覆盖集与分离集的估计，以界定测度论复杂性。
• 利用标记性质构造一种度量 $d$，使得上度量平均维数 $\overline{\mathrm{mdim}}_M(\mathcal{X},\sigma,d)$ 等于平均维数。
• 利用覆盖数的温和增长性以及 $\mathbb{T}^r^\mathbb{Z}$ 上代数作用的结构，推导出度量熵与率失真维数的下界。
• 通过展示 $\mathrm{rdim}$ 的上下界均与平均维数一致，结合缩放估计与测度集中性，证明极小极大等式成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 平均维数能否被表征为在度量与不变测度上率失真维数的极小极大值？
• RQ2 双变分原理是否对所有动力系统成立，还是仅在如标记性质等结构性假设下成立？
• RQ3 能否构造一种度量，使得具有标记性质的系统其上度量平均维数等于平均维数？
• RQ4 率失真维数与动力系统中几何测度论复杂性之间存在何种关系？
• RQ5 为何该原理的最大最小变体失效？这又对率失真在平均维数中的本质意味着什么？

主要发现

• 对于任意具有标记性质的动力系统，平均维数等于在所有相容度量与不变测度上上率失真维数的极小极大值。
• 极小极大值可被实现，即存在一种度量 $d$，使得其在所有不变测度下均优化最坏情况的率失真维数。
• 通过选择适当的度量，可使上度量平均维数等于平均维数，该结果通过几何测度论与覆盖数估计得到证明。
• 对于 $\mathbb{T}^r^\mathbb{Z}$ 上的代数作用，率失真维数 $\mathrm{rdim}(\mathcal{X},\sigma,d,\mu)$ 的下界为反向维数 $\mathrm{prodim}(\mathcal{X})$，其等于平均维数。
• 该原理的最大最小变体对所有系统均给出零值，表明对固定测度最小化度量无法捕捉平均维数。
• 证明建立了遍历理论、率失真理论与几何测度论之间新的相互作用，尤其体现在对分离集的估计与在平均度量下测度衰减的分析上。