[论文解读] Doubly Reflected BSDEs and ${\cal E}^{f}$-Dynkin games: beyond the right-continuous case

Miryana Grigorova, Peter Imkeller+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用 7

一句话总结

本文建立了算子 $\mathcal{R}$ 的单调收敛结果，该算子将 $S^2$ 中的过程映射为其最小强上鞅包络，将已知结果推广至非右连续情形。证明了若 $ S^2 $ 中的非减序列 $ (\xi_n) $ 收敛于 $ \xi \in S^2 $，则 $ \mathcal{R}[\xi] = \lim_{n \to \infty} \mathcal{R}[\xi_n] $，其关键在于利用了非减强上鞅序列的极限本身仍为强上鞅这一事实。

ABSTRACT

We formulate a notion of doubly reflected BSDE in the case where the barriers $ξ$ and $ζ$ do not satisfy any regularity assumption and with a general filtration. Under a technical assumption (a Mokobodzki-type condition), we show existence and uniqueness of the solution. In the case where $ξ$ is right upper-semicontinuous and $ζ$ is right lower-semicontinuous, the solution is characterized in terms of the value of a corresponding $\mathcal{E}^f$-Dynkin game, i.e. a game problem over stopping times with (non-linear) $f$-expectation, where $f$ is the driver of the doubly reflected BSDE. In the general case where the barriers do not satisfy any regularity assumptions, the solution of the doubly reflected BSDE is related to the value of ''an extension'' of the previous non-linear game problem over a larger set of ''stopping strategies'' than the set of stopping times. This characterization is then used to establish a comparison result and extit{a priori} estimates with universal constants.

研究动机与目标

• 将双反射倒向随机微分方程与 $\mathcal{E}^f$-Dynkin 博弈理论推广至非必然右连续的过程。
• 建立算子 $\mathcal{R}$ 的单调收敛性质，该算子将过程映射为其最小强上鞅包络。
• 证明 $ S^2 $ 中非减过程序列的极限在保持极限过程仍属于 $ S^2 $ 的条件下，其 $\mathcal{R}$-像的收敛性得以保持。
• 通过反射倒向随机微分方程与强上鞅的性质，将经典最优停时理论结果推广至非右连续情形。

提出的方法

• 算子 $\mathcal{R}[\xi]$ 定义为具有障碍 $\xi$ 的反射倒向随机微分方程解的第一个分量，对应于 $\xi$ 的 Snellen 包络。
• 证明依赖于文献 [MG3] 中的定理 3.1，该定理表明 $\mathcal{R}[\xi]$ 是所有满足 $\tau \geq \theta$ 的停时 $\tau$ 的 $\mathbb{E}[\xi_\tau \mid \mathcal{F}_\theta]$ 的本质上确界，从而确保其为支配 $\xi$ 的最小强上鞅。
• 利用 $\mathcal{R}$ 的单调性，证明 $\mathcal{R}[\xi_n]$ 关于 $n$ 构成非减序列，因此收敛于某个 $X \in S^2$。
• 通过将勒贝格定理应用于强上鞅序列的非减极限，证明极限 $X$ 本身是强上鞅。
• 随后利用强上鞅的 $\mathcal{R}$-像为其自身这一事实，证明 $X = \mathcal{R}[X]$。
• 最后，由 $X \geq \xi$ 及 $\mathcal{R}$ 的定义，推导出不等式 $X \geq \mathcal{R}[\xi]$，从而得出等式 $\mathcal{R}[\xi] = X = \lim_{n \to \infty} \mathcal{R}[\xi_n]$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\mathcal{R}$ 应用于 $S^2$ 中的非减序列时，是否保持单调极限？
• RQ2 当 $\xi_n \uparrow \xi$ 且 $\xi \in S^2$ 时，即使缺乏右连续性，是否仍能保证 $\mathcal{R}[\xi_n]$ 收敛于 $\mathcal{R}[\xi]$？
• RQ3 在缺乏右连续性的情况下，非减强上鞅序列的极限是否仍为强上鞅？
• RQ4 在反射倒向随机微分方程的背景下，Snellen 包络（即支配 $\xi$ 的最小强上鞅）在单调极限下如何表现？
• RQ5 在 $\xi_n \uparrow \xi$ 属于 $S^2$ 的条件下，确保 $\mathcal{R}[\xi] = \lim_{n \to \infty} \mathcal{R}[\xi_n]$ 的条件是什么？

主要发现

• 算子 $\mathcal{R}$ 是非减的：若 $\xi \leq \xi'$，则 $\mathcal{R}[\xi] \leq \mathcal{R}[\xi']$。
• 若 $\xi$ 为强上鞅，则 $\mathcal{R}[\xi] = \xi$，即算子固定强上鞅。
• 对任意 $\xi \in S^2$，有 $\mathcal{R}[\xi]$ 为强上鞅，且满足 $\mathcal{R}[\xi] \geq \xi$，因此其为满足此条件的最小过程。
• 非减序列 $\mathcal{R}[\xi_n]$ 的极限 $X = \lim_{n \to \infty} \mathcal{R}[\xi_n]$ 是强上鞅，因为它是强上鞅序列的非减极限。
• 有 $X = \mathcal{R}[X]$，确认极限 $X$ 在 $\mathcal{R}$ 下不变。
• 通过证明 $X \geq \mathcal{R}[\xi]$ 与 $X \leq \mathcal{R}[\xi]$，最终确立了等式 $\mathcal{R}[\xi] = \lim_{n \to \infty} \mathcal{R}[\xi_n]$，从而证明了单调收敛性质。