[论文解读] Drift parameter estimation for nonlinear stochastic differential equations driven by fractional Brownian motion

Yaozhong Hu, David Nualart+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文建立了分数布朗运动驱动的非线性随机微分方程中漂移参数最小二乘估计量（LSE）的强一致性，其中赫斯特定征参数 $ H \in (\frac{1}{4}, 1) $。在单侧耗散Lipschitz条件与连续观测下，当时间 $ T \to \infty $ 时，LSE 几乎必然收敛于真实参数，该结果基于遍历性与马利avin微积分，并引入了关于Skorohod积分的新颖最大不等式。

ABSTRACT

We derive the strong consistency of the least squares estimator for the drift coefficient of a fractional stochastic differential system. The drift coeffcient is one-sided dissipative Lipschitz and the driving noise is additive and fractional with Hurst parameter $H \in (\frac{1}{4}, 1)$. We assume that continuous observation is possible. The main tools are ergodic theorem and Malliavin calculus. As a by-product, we derive a maximum inequality for Skorohod integrals, which plays an important role to obtain the strong consistency of the least squares estimator.

研究动机与目标

• 建立非线性SDE中漂移参数最小二乘估计量（LSE）的几乎必然收敛性，该SDE由分数布朗运动驱动。
• 将参数估计理论扩展至具有长程依赖性的非马氏、非半鞅设定。
• 为Skorohod积分发展一个最大不等式，作为关键技术工具。
• 在连续观测与漂移系数的温和正则性条件下，确保估计的一致性。

提出的方法

• 通过最小化积分平方预测误差推导LSE，得到涉及经验费雪信息矩阵逆的闭式表达式。
• 采用Skorohod积分形式化处理分数布朗运动的非半鞅性质。
• 应用遍历定理于解过程的不变测度，以确保长时间平均行为。
• 运用马利avin微积分推导矩估计，并建立关于Skorohod积分的新最大不等式。
• 对漂移函数施加单侧耗散Lipschitz条件，以保证路径唯一性与遍历性。
• 利用 $ \mathcal{C}^{1}_{p} $ 或 $ \mathcal{C}^{2}_{p} $ 正则性（依 $ H $ 而定）建立解及其马利avin导数的矩界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当观测时间 $ T \to \infty $ 时，分数布朗运动驱动的非线性SDE中漂移参数的最小二乘估计量是否几乎必然收敛？
• RQ2 在连续观测与漂移函数的单侧耗散Lipschitz条件下，能否建立LSE的强一致性？
• RQ3 为控制 $ H \in (\frac{1}{4},1) $ 时分数布朗运动LSE表达式中随机积分项，需要哪些矩不等式与最大不等式？
• RQ4 漂移系数的正则性（$ \mathcal{C}^{1}_{p} $ 或 $ \mathcal{C}^{2}_{p} $）如何依 $ H $ 的不同影响证明过程？
• RQ5 在何种条件下，LSE在紧致参数集上具有一致强一致性？

主要发现

• 在假设1.1与 $ f $ 的适当正则性下，最小二乘估计量 $ \hat{\theta}_T $ 几乎必然收敛于真实参数 $ \theta $，当 $ T \to \infty $ 时。
• 该证明依赖于一个关于Skorohod积分的新最大不等式，该不等式通过马利avin微积分推导得出，是实现矩控制的关键。
• 当 $ H \in (\frac{1}{2},1) $ 时，漂移函数 $ f $ 需属于 $ \mathcal{C}^{1}_{p}(\mathbb{R}^m) $；当 $ H \in (\frac{1}{4},\frac{1}{2}) $ 时，必须属于 $ \mathcal{C}^{2}_{p}(\mathbb{R}^m) $。
• 不变测度 $ \nu $ 满足 $ \mathbb{P}(\det(f^{tr}f)(\overline{X}) > 0) > 0 $，确保费雪信息矩阵在分布上非退化。
• 通过Borel-Cantelli引理与矩估计，建立了 $ T^{-1} \int_0^T f^{tr}(X_t) dX_t $ 对 $ \theta $ 的收敛性，从而推出 $ \hat{\theta}_T \to \theta $ 几乎必然。
• 若 $ \theta $ 属于紧集且 $ (f^{tr}f)^{-1} $ 一致有界，则LSE具有一致强一致性。