[论文解读] Duality between source coding with quantum side information and c-q channel coding

Hao–Chung Cheng, Eric P. Hanson+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2018

Wireless Communication Security Techniques参考文献 28被引用 9

一句话总结

本文建立了经典源编码与量子侧信息之间的对偶性，以及经典-量子（c-q）信道编码之间的对偶性，表明两者任务中的最优误差指数通过精确的熵关系相互对应。该对偶性使得能够从一个任务的最优码构造出另一任务的最优码，将Ahlswede和Dueck的经典结果推广至量子领域，利用量子侧信息和基于Rényi散度的界。

ABSTRACT

In this paper, we establish an interesting duality between two different quantum information-processing tasks, namely, classical source coding with quantum side information, and channel coding over c-q channels. The duality relates the optimal error exponents of these two tasks, generalizing the classical results of Ahlswede and Dueck. We establish duality both at the operational level and at the level of the entropic quantities characterizing these exponents. For the latter, the duality is given by an exact relation, whereas for the former, duality manifests itself in the following sense: an optimal coding strategy for one task can be used to construct an optimal coding strategy for the other task. Along the way, we derive a bound on the error exponent for c-q channel coding with constant composition codes which might be of independent interest.

研究动机与目标

• 建立经典源编码与量子侧信息之间的对偶性，以及c-q信道编码之间的对偶性，将经典对偶性原理推广至量子领域。
• 利用Rényi散度和量子相对熵，推导出两个任务之间最优误差指数的精确熵对偶关系。
• 证明一个任务的最优编码策略可通过变换转化为另一任务的最优策略，从而建立操作对偶性。
• 通过常组成码推导出c-q信道编码误差指数的新界，该结果可能具有独立意义。
• 将Ahlswede和Dueck的经典对偶结果推广至量子设置，特别是涉及量子侧信息和c-q信道的情形。

提出的方法

• 作者定义了一个经典-量子（c-q）源，其中每个经典序列 $ \boldsymbol{x} \to \rho_{B^n}^{\boldsymbol{x}} = \bigotimes_{i=1}^n \rho_B^{x_i} $，形成一个c-q态 $ \rho_{X^nB^n} $。
• 他们引入基于Rényi散度的量 $ D_\beta^*(\rho_B^x \rVert \rho_B) $，以表征源编码和信道编码任务中的误差指数。
• 利用 $ Q_\beta^* $ 散度的数据处理不等式，通过 $ \beta $-Rényi散度推导出c-q信道码的错误概率界。
• 通过证明在Rényi散度表达式变换下，带有量子侧信息的源编码中的最优误差指数与c-q信道编码中的最优误差指数相等，从而建立对偶性。
• 他们利用该对偶性，通过编码和译码映射的功能对偶性，从一个任务的最优码构造出另一任务的编码策略。
• 分析中还包括通过Rényi散度和类型计数方法推导出c-q信道编码中常组成码的误差指数界。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典源编码与信道编码之间的对偶性能否扩展到量子领域，特别是在侧信息为量子的情况下？
• RQ2 带有量子侧信息的源编码与c-q信道编码之间，最优误差指数的精确熵关系是什么？
• RQ3 能否通过双对应性系统地将一个任务的最优编码策略转化为另一任务的最优策略？
• RQ4 Rényi散度在表征量子设置下源编码和信道编码任务误差指数方面起什么作用？
• RQ5 在c-q信道编码中使用常组成码是否能得出一个独立于经典对偶性框架的新且紧致的误差指数界？

主要发现

• 通过Rényi散度表达式，建立了带有量子侧信息的经典源编码与c-q信道编码之间最优误差指数的精确对偶性。
• 该对偶性通过恒等式 $ E_{\text{sc,s}}^*(R) = \frac{1}{\beta - 1} \big[ \text{inf}_{\rho_B} \text{sum}_x Q(x) D_\beta^*(\rho_B^x \rVert \rho_B) + R - H(Q) \big] $ 得到形式化，表明误差指数表达式的等价性。
• 操作对偶性使得能够从c-q信道编码的最优码构造出带有量子侧信息的源编码的最优码，反之亦然。
• 推导出c-q信道编码中常组成码的误差指数的新界，表达式为 $ sc(n,R,Q) \rightarrow E_{\text{sc,s}}^*(R) - \frac{|\text{supp}(Q)|}{n} \text{log}(n+1) $，在 $ n $ 较大时成立。
• 即使在信道非循环对称的情况下，该对偶性依然成立，从而将经典结果推广至非对称情形。
• 证明了带有量子侧信息的源编码的误差指数下界为 $ E_{\text{sc,s}}^*(R) - \frac{|\text{supp}(Q)|}{n} \text{log}(n+1) $，且当 $ n \to \infty $ 时修正项趋于零。