[论文解读] Duality theory for Markov processes: Part 1

R. K. Getoor|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文針對固定過量測度下的博雷爾右過程建立了對偶理論，構造了一個左連續的中等馬可夫對偶過程，將經典對偶理論推廣至右連續強馬可夫過程之外。主要貢獻在於透過細緻的測度論技巧與邁爾的完美化定理，證明了可選共預測齊次隨機測度與不對 $ m $-例外集賦值的 $ \sigma $-有限測度之間的對應關係。

ABSTRACT

This is the first part of a possible monograph on the duality of Markov processes. It contains a proof of Fitzsimmons' existence theorem of a moderate Markov dual process relative to an excessive measure, m, together with the necessary preliminary material. Then this is applied to prove the correspondence between optional copredictable homogenous random measures and sigma finite measures not charging m-exceptional sets again following Fitzsimmons. The second part which may never be written would deal with duality proper including results from, but not limited to, my joint paper with P. J. Fitzsimmons"Potential Theory of Moderate Markov Dual Processes" which appeared in Potential Anal.(2009) 31:275-310. Complete proofs of all results not appearing in standard books are given with the one exception of Dellacherie's result characterizing semipolar sets.

研究动机与目标

• 在最小假設下發展博雷爾右過程的普遍對偶理論，推廣至標準強馬可夫過程框架之外。
• 構造一個左連續的中等馬可夫對偶過程 $\hat{X}$，其與經典對偶理論不同之處在於對偶過程非右連續且非強馬可夫。
• 建立可選共預測齊次隨機測度與不對 $ m $-例外集賦值的狀態空間上 $ \sigma $-有限測度之間的對應關係。
• 解決當過量測度 $ m $ 非有限時所產生的技術性測度論挑戰，特別是在定義投影與處理時間反轉時的問題。
• 提供基礎結果的完整、自包含證明——特別是共預測與可選投影的存在性——使用戴拉切里-邁爾與邁爾的一般隨機過程理論中的先進工具。

提出的方法

• 利用與博雷爾右過程 $ X $ 及過量測度 $ m $ 相關的庫任采夫過程 $ (Y, Q_m) $，透過最大延拓 $ Y^* $ 將強馬可夫性推廣至出生時間 $ \alpha $。
• 應用可選與共預測過程的一般理論，定義並構造可選與共預測投影，即使 $ Q_m $ 非有限亦成立。
• 使用時間反轉技術，從預測投影推導共預測投影，確保與對偶過程構造的一致性。
• 使用邁爾的完美化定理 [M74]（作為定理 5.27 陳述）構造齊次隨機測度的「極佳」版本。
• 應用類似富比尼的論證與可加泛函的路徑分析，證明在 $ P^m $ 下過程的不可區分性，特別是針對可加泛函 $ A $ 及其變體 $ L $。
• 依賴戴拉切里-邁爾 [DM] 與吉蒂奧 [G] 對基礎測度論結果的精確參考，並對非標準情形（如出生時間的最大延拓）提供原創證明。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否針對相對於固定過量測度 $ m $ 的博雷爾右過程發展對偶理論，即使對偶過程非右連續或非強馬可夫？
• RQ2 當 $ Q_m $ 非有限時（可能僅為 $ \sigma $-有限），如何構造可選與共預測投影？
• RQ3 可選共預測齊次隨機測度與不對 $ m $-例外集賦值的狀態空間上 $ \sigma $-有限測度之間的精確對應關係為何？
• RQ4 在一般假設下，如何保證齊次隨機測度的「極佳」版本存在？邁爾的完美化定理在此過程中扮演何種角色？
• RQ5 強馬可夫性能在多大程度上推廣至出生時間 $ \alpha $？為何最大延拓 $ Y^* $ 對對偶構造至關重要？

主要发现

• 對偶過程 $ \hat{X} $ 存在且為左連續的中等馬可夫過程，與經典對偶理論中對偶為右連續且強馬可夫的性質不同。
• 庫任采夫過程 $ (Y, Q_m) $ 具有最大延拓 $ Y^* $，使其在出生時間 $ \alpha $ 仍保持強馬可夫性，此點對對偶構造至關重要。
• 即使 $ Q_m $ 非有限，可選與共預測投影仍可在一般測度 $ Q_m $ 下存在，方法為結合時間反轉與預測投影的精確構造。
• 建立了一項基本對應關係：每個可選共預測齊次隨機測度皆源自唯一一個不對 $ m $-例外集賦值的狀態空間上 $ \sigma $-有限測度。
• 透過邁爾的完美化定理（定理 5.27）證明了齊次隨機測度的「極佳」版本存在，並以細緻方式應用，確保可加泛函的正則版本。
• 透過涉及 $ \tilde{A} $、$ U $ 與 $ H $ 的構造，證明可加泛函 $ A $ 與滿足定理 5.28 所需性質的過程 $ L $ 無可區分，且在 $ P^m $ 下有 $ U = V $ 几乎必然。