[论文解读] Duals of Hardy-amalgam spaces $\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ and Pseudo-differential operators

Zobo Vincent de Paul Ablé, Justin Feuto|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2018

Advanced Harmonic Analysis Research被引用 3

一句话总结

本文在 $0 < q \leq 1$ 且 $q \leq p < \infty$ 时，建立了局部 Hardy-amalgam 空间 $\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ 的原子分解与分子分解，刻画了当 $0 < q \leq p \leq 1$ 时其对偶空间，并证明了 $\mathcal{S}^0$ 伪微分算子在这些空间上的有界性，将经典局部 Hardy 空间的结果推广至 amalgam 设置。

ABSTRACT

In this paper, we carry on with the study of the Hardy-Amalgam spaces $\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ spaces introduced in \cite{AbFt}. We investigate their dual spaces and establish some results of boundedness of pseudo-differential operators in these spaces.

研究动机与目标

• 将经典局部 Hardy 空间 $\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^q$ 的对偶性与有界性结果推广至更一般的 Hardy-amalgam 空间 $\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$。
• 在 $0 < q \leq 1$ 且 $q \leq p < \infty$ 时，建立 $\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ 的原子与分子分解，推广先前关于 $\mathcal{H}^{(q,p)}$ 的结果。
• 刻画当 $0 < q \leq p \leq 1$ 时 $\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ 的对偶空间，将对偶理论推广至局部 amalgam 设置。
• 研究 $\mathcal{S}^0$ 伪微分算子在 $\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ 空间上的有界性，提供乘以 Schwartz 函数下的稳定性结果。

提出的方法

• 利用局部化最大函数与 dyadic 方块，推导 $\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ 的原子与分子分解，借鉴经典 Hardy 空间理论中的技术。
• 采用通过缩放 $\varphi_t$（其中 $0 < t \leq 1$）定义的局部化最大函数 $\mathcal{M}_{\mathrm{loc}}(f)$，替代全局 Hardy 空间中使用的全尺度最大函数。
• 应用 Wiener amalgam 范数 $\|f\|_{(L^q, \ell^p)} = \left\| \left\| f \chi_{Q_k} \right\|_{L^q} \right\|_{\ell^p}$ 来定义 Hardy-amalgam 空间结构。
• 利用 $\mathcal{S}^0$ 伪微分算子的理论，依赖符号类与伴随算子，证明其在 $\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ 上的有界性。
• 应用插值与最大函数估计，特别是涉及分数次最大函数 $\mathfrak{M}(\chi_{Q^n})^\vartheta$ 的估计，以控制算子范数。
• 通过配对 $\langle f, g \rangle = \int f \bar{g} \, dx$ 应用对偶性，利用 $\mathcal{S}^0$ 中伴随算子满足 $T^*g = T_{\psi^*}g$ 的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $0 < q \leq 1$ 且 $q \leq p < \infty$ 时，局部 Hardy-amalgam 空间 $\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ 的原子与分子分解结构为何？
• RQ2 当 $0 < q \leq p \leq 1$ 时，如何刻画 $\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ 的对偶空间？
• RQ3 在何种条件下，$\mathcal{S}^0$ 伪微分算子在 $\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ 上有界，其中 $0 < q \leq 1$ 且 $q \leq p < \infty$？
• RQ4 对于 $0 < q \leq 1$ 且 $q \leq p < \infty$，乘以 Schwartz 函数是否保持 $\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ 中的成员资格？

主要发现

• 当 $0 < q \leq 1$ 且 $q \leq p < \infty$ 时，空间 $\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ 允许原子分解，其中原子位于 dyadic 方块上，且满足取消性与大小条件。
• 当 $0 < q \leq p \leq 1$ 时，$\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ 的对偶空间被识别为 $\mathcal{L}_{r', \phi_1, \delta}^{\mathrm{loc}}$，其中 $\delta \geq \lfloor d(1/q - 1) \rfloor$，将对偶结果推广至局部 amalgam 设置。
• 所有 $\mathcal{S}^0$ 伪微分算子在 $\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ 上均有界，当 $0 < q \leq 1$ 且 $q \leq p < \infty$，该结论通过涉及 $\mathfrak{M}(\chi_{Q^n})^\vartheta$ 的算子范数估计得到证明。
• 对于所有 $f \in \mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$ 和 $\phi \in \mathcal{S}$，乘积 $\phi f$ 定义良好且属于 $\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$，这是由于乘法算子作为伪微分算子的有界性所致。
• $\mathcal{L}_{r', \phi_1, \delta}^{\mathrm{loc}}$ 上算子 $T$ 的有界性可量化为 $\|T(f)\|_{\mathcal{L}_{r', \phi_1, \delta}^{\mathrm{loc}}} \leq C \|f\|_{\mathcal{L}_{r', \phi_1, \delta}^{\mathrm{loc}}}$，其中 $C$ 与 $f$ 无关。