[论文解读] Dynamic framework for edge-connectivity maintenance of simple graphs

Blazej Wrobel|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2026

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 0

一句话总结

一个动态框架，通过在新增后进行冗余消除、删除后进行有针对性的增广，利用稀疏证明、Link-Cut 树和 Dinic 算法，在无向简单图的单边更新下维持 k 边连通性。

ABSTRACT

We present a framework for dynamically maintaining $k$-edge-connectivity of an undirected simple graph $G$ under edge insertions and deletions, where $k$ is a fixed constant. After an edge insertion, the algorithm identifies and removes a distinct redundant edge to maintain sparsity, in $O(k \log n)$ amortized time. After an edge deletion that reduces $λ(G)$ below $k$, the algorithm restores $k$-edge-connectivity by adding at most two new edges (excluding the deleted edge), in $O(k^{3/2} n^{3/2})$ time. The insertion procedure combines Nagamochi-Ibaraki sparse certificates with Link-Cut Trees; the deletion procedure uses a single maximum-flow computation on the sparsified graph. Throughout all updates, the graph is maintained with $O(kn)$ edges.

研究动机与目标

• 在动态边更新下，主动维护 k 边连通性并给出形式化动机。
• 开发一个框架，在保持图稀疏的同时维持 λ(G) ≥ k。
• 提供边插入后的冗余消除算法与边删除后的连通性恢复算法。
• 利用现有数据结构与流技术来保证正确性并分析复杂度。

提出的方法

• 使用 Nagamochi-Ibaraki 稀疏证明来表示一个 k-边连通子图（前 k 森林）作为 G_cert。
• 用 Link-Cut 树维护 k 个不相交的森林，以支持高效的边插入和置换，同时保持森林有效性。
• 通过在 k 个森林上级联尝试添加来处理边的加入，以吸收新边或丢弃冗余边。
• 如果边删除使连通性降至低于 k，则在残差网络上运行 Dinic 的最大流，以识别最小增广集并添加跨越最小割的边。

实验结果

研究问题

• RQ1 在单边更新下如何主动维持 λ(G) ≥ k，同时保持图的稀疏性（O(kn) 条边）？
• RQ2 在边插入后如何安全地进行冗余消除，而不是简单地回退更新？
• RQ3 如何使用基于流的方法在边删除后以最少增广边恢复到 k 边连通？

主要发现

• 插入后的冗余消除在摊销时间上为 O(k log n)。
• 带有 k 个 Link-Cut 树的稀疏证明可保持 λ(G) ≥ k，并将 |E| 边界到 O(kn)。
• 删除后的恢复在残差图上使用 Dinic 的算法，复杂度为 O(min(n^{2/3}, m^{1/2})·m)，并可通过稀疏化改进为 O(k·n^{5/3})。
• 在第 k 森林上的 TryAdd 放弃的边被保证对维持 k 边连通性是冗余的。
• 该框架确保被消除/插入的边是互不相同的，以避免简单的反向操作。