[论文解读] Dynamic Triad Interactions and Evolving Turbulence -- Part 1: 4D Modal Interactions

Preben Buchhave, Clara M. Velte|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2019

Meteorological Phenomena and Simulations参考文献 1被引用 7

一句话总结

本文提出对纳维-斯托克斯方程进行四维傅里叶分析，以模拟湍流中的三元相互作用，当泰勒的冻结场假说不成立时，将时间视为独立变量。研究表明，有限的空间和时间采样会展宽谱峰并引入能量传递的时间延迟，从而解释了与经典理查德森级联的偏差，并验证了实验和模拟中观察到的延迟相互作用。

ABSTRACT

We investigate the effect of a four-dimensional Fourier transform on the formulation of the Navier-Stokes equation in Fourier space and the way the energy is transferred between Fourier components. Since time in a sampled high intensity turbulence must be considered a stochastic variable in the energy exchange between scales, we refer to these dynamic triad interactions as modal interactions, rather than the commonly referred to triad interactions in the classical 3-dimensional analysis. The inclusion of time as a parameter broadens the phase match condition from the classical one, $Δ\bm{k} \cdot \bm{r} = \left [ \bm{k} - (\bm{k}_1 + \bm{k}_2 ) ight ] \cdot \bm{r}$, to the more general formulation that also includes temporal frequencies: $Δ\bm{k} \cdot \bm{r} - Δωt = \left [ \bm{k} - (\bm{k}_1 + \bm{k}_2 ) ight ] \cdot \bm{r} - \left [ ω- \left (ω_1 + ω_2 ight ) ight ] t$. This renders possible the occurrence of `delayed' and `advanced' interactions. The observation that mismatches in the wavevector triadic interactions may be compensated by a corresponding mismatch in the frequencies supports the empirically deduced delayed interactions reported in [Josserand extit{et al.}, extit{J. Stat. Phys.} (2017)]. These results explain the occurrence and inherent time development of the so-called Richardson cascade and also how finite temporal overlap of wave components can result in significant non-local interactions and consequently non-equilibrium turbulence, e.g., fractal grid generated turbulence. The consequences of including time as a parameter in practical experiments or simulations in terms of limited resolution, domain size etc. are treated in the companion paper (Part 2) of the present work.

研究动机与目标

• 理解实验数据中有限的空间和时间采样如何影响湍流中模态相互作用。
• 研究当泰勒的冻结场假说不成立时，时间作为独立变量在三元相互作用中的作用。
• 在实际测量约束条件下，对速度功率谱的动态演化进行建模。
• 解释实验和模拟中观察到的延迟相互作用与谱展宽的起源。
• 将理论模态相互作用与湍流射流中能量传递的经验观测联系起来。

提出的方法

• 对纳维-斯托克斯方程应用四维傅里叶变换，将时间视为独立变量。
• 推导在有限空间和时间域约束下控制三元相互作用效率的相位因子。
• 引入由于有限采样导致的谱窗效应，这会展宽相互作用峰并改变能量传递效率。
• 使用时变相位补偿来解释波矢三元组中的不匹配，支持经验上观察到的延迟相互作用。
• 对纳维-斯托克斯方程实施一维投影，以模拟从实测数据中获得的速度谱的时间演化。
• 通过将模拟谱与注入单模振荡的湍流射流的实验测量结果进行比较，验证结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限的空间和时间采样如何影响三元相互作用中的相位匹配条件？
• RQ2 将时间作为独立变量引入后，如何改变湍流中能量传递的动力学？
• RQ3 湍流级联过程中观察到的时间延迟由何原因引起，如何对其进行建模？
• RQ4 谱展宽和有限域效应如何影响速度功率谱的形状与演化？
• RQ5 一维纳维-斯托克斯模拟在多大程度上能够再现注入模态的湍流射流的实验谱？

主要发现

• 有限的空间和时间域引入了谱窗，展宽了相互作用傅里叶分量的峰，从而改变了相互作用效率。
• 当泰勒的冻结场假说不成立时，时间波动可补偿空间相位失配，使原本被禁止的相互作用成为可能。
• 在傅里叶变换中引入时间后，揭示出三元相互作用本质上是时延的，每个相互作用在序列中先于下一个发生。
• 由于有限采样导致的谱展宽解释了与经典理查德森级联的偏差，尤其是在实验数据中更为显著。
• 基于一维纳维-斯托克斯投影的模拟与实测速度功率谱高度一致，验证了模型的预测能力。
• 实验中观察到的延迟相互作用，可通过四维傅里叶公式中空间与时间分量之间的动态相位补偿来解释。