[论文解读] Dynamical characterization of stochastic bifurcations in a random logistic map

Yuzuru Sato, Thai Son Doan+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2018

Ecosystem dynamics and resilience参考文献 2被引用 12

一句话总结

本文对带有有界噪声的随机逻辑斯蒂映射中的噪声诱导混沌提供了动力学表征，识别出两个关键转变点：由二分谱上确界零交叉标记的拓扑分岔（$\epsilon_D \approx 0.000251$），以及由李雅普诺夫指数零交叉标记的动力学分岔（$\epsilon_L \approx 0.00146$）。这些转变将系统划分为三个阶段：随机周期吸引子、随机点吸引子和随机奇异吸引子，其中后者由于噪声驱动的稳定与不稳定周期轨道之间的跃迁而表现出混沌动力学。

ABSTRACT

The emergence of noise-induced chaos in a random logistic map with bounded noise is understood as a two-step process consisting of a topological bifurcation flagged by a zero-crossing point of the supremum of the dichotomy spectrum and a subsequent dynamical bifurcation to a random strange attractor flagged by a zero crossing point of the Lyapunov exponent. The associated three consecutive dynamical phases are characterized as a random periodic attractor, a random point attractor, and a random strange attractor, respectively. The first phase has a negative dichotomy spectrum reflecting uniform attraction to the random periodic attractor. The second phase no longer has a negative dichotomy spectrum - and the random point attractor is not uniformly attractive - but it retains a negative Lyapunov exponent reflecting the aggregate asymptotic contractive behaviour. For practical purposes, the extrema of the dichotomy spectrum equal that of the support of the spectrum of the finite-time Lyapunov exponents. We present detailed numerical results from various dynamical viewpoints, illustrating the dynamical characterisation of the three different phases.

研究动机与目标

• 为带有有界噪声的随机逻辑斯蒂映射中噪声诱导转变提供详细的动力学表征。
• 识别并分析标记不同随机吸引子类型之间转变的拓扑与动力学分岔点。
• 阐明二分谱与有限时间李雅普诺夫指数在检测噪声诱导混沌早期预警信号中的作用。
• 通过超越平稳测度的路径分析，澄清现有文献中的模糊之处，区分拓扑变化与动力学行为。
• 建立一个用于检测随机动力系统中临界阈值的框架，以确定混沌脉冲可能发生的条件。

提出的方法

• 研究分析了随机逻辑斯蒂映射 $x_{n+1} = a x_n (1 - x_n) + \omega_n$，其中 $a = 3.83$，且噪声 $\omega_n$ 为独立同分布的均匀分布，取值于 $[-\epsilon, \epsilon]$。
• 通过计算二分谱的上确界来检测拓扑分岔，其零交叉点标记为 $\epsilon_D \approx 0.000251$。
• 在 $N = 3000$ 步内估计有限时间李雅普诺夫指数，以近似李雅普诺夫指数并评估渐近收缩行为。
• 通过可视化有限时间李雅普诺夫指数的分布，识别其支集并检测稀有混沌脉冲。
• 采用两点运动动力学计算最大有限时间李雅普诺夫指数，从而实现以正概率检测正指数。
• 在 $\epsilon \in [0, 0.003]$ 范围内进行数值模拟，以追踪转变并验证三阶段动力学结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 带有有界噪声的随机逻辑斯蒂映射中，噪声诱导混沌的精确动力学机制是什么？
• RQ2 二分谱的上确界与李雅普诺夫指数如何作为随机分岔的早期预警信号？
• RQ3 在吸引子结构与稳定性方面，随机周期吸引子、随机点吸引子与随机奇异吸引子这三种动力学阶段有何区别？
• RQ4 为何混沌转变发生在李雅普诺夫指数变为正之前？$\epsilon_D$ 处的拓扑分岔起到了何种作用？
• RQ5 路径动力学行为与平稳分布等聚合度量在表征随机吸引子时有何不同？

主要发现

• 拓扑分岔发生在 $\epsilon_D \approx 0.000251$，由二分谱上确界的零交叉标记，表明均匀双曲性丧失及非均匀吸引性的出现。
• 动力学分岔发生在 $\epsilon_L \approx 0.00146$，此时李雅普诺夫指数穿过零点，标志随机奇异吸引子的出现，其具有正李雅普诺夫指数。
• 阶段 I（$\epsilon < \epsilon_D$）表现为随机周期吸引子，其二分谱为负且李雅普诺夫指数为负，表明对周期三轨道的均匀吸引。
• 阶段 II（$\epsilon_D < \epsilon < \epsilon_L$）表现出随机点吸引子，其二分谱上确界为正，但李雅普诺夫指数仍为负，反映非均匀吸引性与整体收缩性。
• 阶段 III（$\epsilon > \epsilon_L$）呈现随机奇异吸引子，其二分谱与李雅普诺夫指数均为正，证实了混沌动力学。
• 在 $\epsilon_D$ 处，平稳测度的支集开始扩展，且在此阈值以上混沌脉冲的发生概率逐渐增加，证实其作为临界转变点的作用。