[论文解读] Dynamical Morse entropy

Mélanie Bertelson, Misha Gromov|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2024

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 5被引用 9

一句话总结

本文定义了来自晶格状配置的动力系统的同伦理熵，证明其在可铺 tiles 的可友善群框架下的存在性与凹性，并将其与流形和积空间的 Morse 理论相关联。

ABSTRACT

We consider actions of a tileable amenable group $Γ$ on a topological space $X$. For a continuous function on $X$, we define the entropy of the number of homologically detectable critical point of the average of that function over $Γ$. This number is bounded below by the sum of the Betti number entropy. This result is thus a generalization of a standard Morse inequality in differential geometry to this setting.

研究动机与目标

• 研究 infinite crystal 配置空间的熵及其局部相互作用的动机。
• 定义与有限子集上的平均势相关的厚化水平集的同伦理度量。
• 在积类作用下，确立同伦理熵存在且定义良好的条件。
• 将同伦理熵与经典 Morse 理论和积空间中的 Poincaré 对偶性联系起来。
• 给出示例并讨论在积设置下熵的非平凡性。

提出的方法

• 将晶体建模为 X = M^Γ，其中 Γ = Z^3 对 X 通过平移作用。
• 定义 Ω 上的平均势 f_Ω 于 M^Ω，并通过来自 H^*(X;F) 的固定子代数 A 生成的 A_Ω 来考虑其共同伦理水平集结构。
• 引入来自厚化水平集与伴随的同调类的同伦理度量 b^{ℓ,ν}_{A,Ω}(c,δ)，该度量来自某些 Hom 映射的秩。
• 证明 b^{ℓ,ν}_{A,Ω}(c,δ) 的超乘性以及 Γ-不变性（引 Lemmas 5.1–5.2）。
• 为确保 Ornstein–Weiss 型极限的存在性（Definition 6.1, Lemma 6.3），引入 tileability（可铺 tiling 的 tiling 能动性）。
• 将 Betti 数熵 b^{ℓ}(c) 定义为在 tiling amenable 序列上 (1/|Ω_i|) log b^{ℓ,ν}_{A,Ω_i}(c,δ) 的极限（Theorem 7.1）。

实验结果

研究问题

• RQ1 对无限晶体的局部相互作用动态状态系统，存在一个有意义的熵的 notion 是什么？
• RQ2 随着有限区域的增大，厚化水平集的同伦信息（同伦理度量）的增长如何量化？
• RQ3 在何种群论条件下相关的熵极限存在并且定义良好？
• RQ4 此同伦理熵如何与经典 Morse 理论和积空间中的 Poincaré 对偶性相关？
• RQ5 在积型设置中，何时熵严格为正？

主要发现

• 存在一个针对 tileable amenable 群和积类作用的凹性且正值的同伦理熵函数 b^{ℓ}(c)。
• 同伦理熵对 Γ 不变，并且表现出超乘性，使得通过 tiling amenable 序列可得到良定义的指数增长率。
• 对于 tileable amenable 群，熵极限存在（通过 Ornstein–Weiss 型推理），且与所选 tiling 序列无关。
• 在 Morse 理论的设置中，Betti 数熵的和界定并与总 Morse 型复杂性（SB(M)）及临界点计数相关。
• 对于积空间 M^Γ，熵为严格正，借助积流形中的 Poincaré 对偶性论证。
• 熵函数 b(c) 是凹的且上半连续，取共轭度的上确界给出总熵度量。