[论文解读] Dynamics of gravitational clustering III. The quasi-linear regime for some non-Gaussian initial conditions

Patrick Valageas|ArXiv.org|Jul 11, 2001

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 18被引用 10

一句话总结

本文提出一种非微扰的最陡下降法，用于计算在准线性区域中三种非高斯初始条件下的密度对比度概率密度函数（PDF）$\mathcal{P}(\delta_R)$：广义幂律尾部模型、等曲率冷暗物质情景，以及慢滚暴胀产生的原初非高斯性。该方法在$\sigma \to 0$极限下精确给出了PDF指数尾部的行为，而前因子的修正项未被确定，且在等曲率情形下与模拟结果表现出良好一致性。

ABSTRACT

Using a non-perturbative method developed in a previous work (paper II), we derive the probability distribution $P(δ_R)$ of the density contrast within spherical cells in the quasi-linear regime for some non-Gaussian initial conditions. We describe three such models. The first one is a straightforward generalization of the Gaussian scenario. It can be seen as a phenomenological description of a density field where the tails of the linear density contrast distribution would be of the form $P_L(δ_L) \sim e^{-|δ_L|^{-α}}$, where $α$ is no longer restricted to 2 (as in the Gaussian case). We derive exact results for $P(δ_R)$ in the quasi-linear limit. The second model is a physically motivated isocurvature CDM scenario. Our approach needs to be adapted to this specific case and in order to get convenient analytical results we introduce a simple approximation (which is not related to the gravitational dynamics but to the initial conditions). Then, we find a good agreement with the available results from numerical simulations for the pdf of the linear density contrast for $δ_{L,R} \ga 0$. We can expect a similar accuracy for the non-linear pdf $P(δ_R)$. Finally, the third model corresponds to the small deviations from Gaussianity which arise in standard slow-roll inflation. We obtain exact results for the pdf of the density field in the quasi-linear limit, to first-order over the primordial deviations from Gaussianity.

研究动机与目标

• 将一种非微扰最陡下降法扩展至非高斯初始条件，以计算密度对比度PDF $\mathcal{P}(\delta_R)$。
• 研究非高斯初始条件如何影响大尺度结构的准线性演化。
• 通过数值模拟验证该方法在等曲率冷暗物质等物理上合理的非高斯模型中的有效性。
• 推导在慢滚暴胀中原始非高斯性较小时，PDF在准线性极限下的精确结果。

提出的方法

• 使用路径积分公式将生成函数 $\psi(y) = \langle e^{-y\delta_R} \rangle$ 表示为对初始密度场 $\delta_L(\mathbf{x})$ 的泛函积分。
• 在路径积分中对作用量 $S[\delta_L]$ 应用最陡下降近似，识别出在 $\sigma \to 0$ 极限下主导的鞍点。
• 在球对称情形下，方法聚焦于由 $\delta_{L,R_L}$ 和 $\lambda_0$ 参数化的球对称鞍点，导致这些构型贡献的求和。
• 通过作用量 $S[\delta_L]$ 的最小值确定 $\psi(y)$ 的主导阶行为，从而通过 $\psi(y) \sim e^{-\varphi(y\sigma^2)/\sigma^2}$ 得到PDF的指数尾部。
• 通过在路径积分中修改初始概率测度，将非高斯初始条件纳入方法中，同时保持非微扰结构。
• 最终得到的PDF $\mathcal{P}(\delta_R)$ 至多一个与 $\sigma$ 无关的乘法前因子，而指数部分被精确确定。

实验结果

研究问题

• RQ1 非微扰最陡下降法如何扩展至准线性区域中的非高斯初始条件？
• RQ2 对于具有线性密度对比度幂律尾部的广义非高斯模型，密度对比度PDF $\mathcal{P}(\delta_R)$ 的精确形式是什么？
• RQ3 该方法能否准确再现等曲率冷暗物质情景中线性密度对比度的PDF？与数值模拟相比表现如何？
• RQ4 当原初非高斯性源于慢滚暴胀时，PDF在准线性极限下的精确结果是什么？
• RQ5 雅可比修正如何影响PDF的前因子？鞍点结构在决定主导阶行为中起什么作用？

主要发现

• 对于广义非高斯模型 $\mathcal{P}_L(\delta_L) \sim e^{-|\delta_L|^{-\alpha}}$，该方法在准线性极限下精确给出了 $\mathcal{P}(\delta_R)$，其指数尾部由作用量最小值决定。
• 在等曲率冷暗物质模型中，该方法对 $\delta_{L,R} \gtrsim 0$ 的情形良好再现了线性PDF $\mathcal{P}_L(\delta_{L,R})$，与数值模拟一致，表明其对非线性PDF也具有类似精度。
• 对于源于慢滚暴胀的原初非高斯性，该方法在一阶原初偏离高斯性下提供了PDF的精确结果。
• PDF $\mathcal{P}(\delta_R)$ 的指数部分通过最陡下降近似被精确确定，对应于作用量 $S[\delta_L]$ 的最小值，该最小值决定了分布的截断行为。
• 生成函数 $\psi(y)$ 和 $\mathcal{P}(\delta_R)$ 的乘法前因子未被主导阶鞍点近似捕获，仍保持未定，尽管其可能依赖于 $\delta_R$ 但不依赖于 $\sigma$。
• 路径积分形式化证实，在 $\sigma \to 0$ 极限下，即使在非高斯初始条件下，只要对称性被保留，生成函数 $\psi(y)$ 仍由球对称鞍点主导。