[论文解读] Dynamics of meromorphic maps with small topological degree II: Energy and invariant measure

Jeffrey Diller, Romain Dujardin+1 more|ArXiv.org|May 25, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用 15

一句话总结

该论文通过不变电流 $T^+$ 与 $T^-$ 的几何楔积，证明了在紧致 Kähler 曲面上具有小拓扑度 ($ \lambda_2 < \lambda_1$) 的亚纯映射存在一个规范的、混合的不变测度，并在自然的能量条件下证明该测度是良定义的，且不赋予极值集正测度。

ABSTRACT

We continue our study of the dynamics of meromorphic mappings with small topological degree on a compact Kähler surface $X$. Under general hypotheses we are able to construct a canonical invariant measure which is mixing, does not charge pluripolar sets and admits a natural geometric description. Our hypotheses are always satisfied when $X$ has Kodaira dimension zero, or when the mapping is induced by a polynomial endomorphism of $\mathbf{C}^2$. They are new even in the birational case. We also exhibit families of mappings where our assumptions are generically satisfied and show that if counterexamples exist, the corresponding measure must give mass to a pluripolar set.

研究动机与目标

• 为紧致 Kähler 曲面上具有小拓扑度的亚纯映射定义一个规范的不变测度 $\mu_f = T^+ \wedge T^-$。
• 在自然的能量与可积性条件下，建立该测度为不变、混合且具有几何意义的性质。
• 提供可检验的动力学准则，以确保楔积 $T^+ \wedge T^{-}$ 作为良定义的概率测度存在。
• 证明此类测度不存在的反例必然涉及对极值集赋正测度。
• 将已知的双有理映射结果推广至更广义的小拓扑度映射类，甚至在双有理情形也获得了新结果。

提出的方法

• 通过连续性要求定义楔积 $T^+ \wedge T^{-}$：若 $T_j^\pm \to T^\pm$ 在上层势论意义下收敛，则 $T_j^+ \wedge T_j^- \to \mu_f$。
• 将能量条件 $T^+ \in \mathcal{E}^p(T^-, \omega^+)$（$p > 1$）作为 $\mu_f$ 存在的充分条件。
• 应用上层势动力系统理论，特别是 Guedj 与 Zeriahi 在紧致 Kähler 几何中关于复 Monge-Ampère 算子的工作。
• 将不变测度 $\mu_f$ 表征为 $T^+$ 的层状结构与 $T^-$ 的编织结构的几何交集。
• 通过在特定映射族（如 $\mathbb{P}^2$ 上的有理映射）中分析动力系统，利用 Green 函数的势论估计验证能量条件。
• 利用连分数逼近与球面上 Green 函数的平均值估计，验证对某些无理旋转数，有 $G^\pm \in \mathcal{E}^p(T^\mp, \omega^\pm)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，不变电流的楔积 $T^+ \wedge T^-$ 可被定义为一个行为良好的概率测度？
• RQ2 在何种条件下，所得测度 $\mu_f$ 具有良好的动力学性质，如不变性与混合性？
• RQ3 何种动力学准则可确保能量条件 $T^+ \in \mathcal{E}^p(T^-, \omega^+)$ 对某个 $p > 1$ 成立？
• RQ4 不变测度 $\mu_f$ 是否可被几何地解释为 $T^+$ 与 $T^-$ 的层状与编织结构的交集？
• RQ5 是否存在此类测度不存在的反例？若存在，是否必然对极值集赋正测度？

主要发现

• 当能量条件 $T^+ \in \mathcal{E}^p(T^-, \omega^+)$ 对某个 $p > 1$ 成立时，规范不变测度 $\mu_f = T^+ \wedge T^{-}$ 存在且作为概率测度是良定义的。
• 测度 $\mu_f$ 关于 $f$ 不变，具有混合性，且不赋予极值集正测度。
• 对于满足 $\lambda_1 > 1$ 的双有理映射，若满足相同能量条件，则测度 $\mu_f$ 良定义且具有良好的动力学性质。
• 在 $\mathbb{P}^2$ 上的有理映射中，若其在不变直线上具有无理旋转数，则对几乎所有参数有 $G^\pm \in \mathcal{E}^p(T^\mp, \omega^\pm)$，从而保证 $\mu_f$ 的存在性。
• 当 $T^+ \in L^1(T^-)$ 时，测度 $\mu_f$ 良定义，且可证明其为混合测度，如在 $a = i$，$b = -s e^{2\pi i\theta}$，$c = i/s$ 的例子中所示。
• 定理 2.3 的另一种情形表明：要么 $\mu_f$ 支撑于极值集 $\{G^+ + G^- = -\infty\}$ 上，要么 $f$ 具有有限动力学能量——而后者在一般情况下应成立。