[论文解读] Dynamics of rigid bodies in a two dimensional incompressible perfect fluid

Olivier Glass, Christophe Lacave+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2019

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文将二维不可压缩理想流体中多个刚体的动力学重新表述为关于刚体自由度的二阶常微分方程（ODE），其系数依赖于流体涡度和环量，而非压力。关键贡献在于识别出由于附加质量引起的测地线运动、广义化库塔-儒可夫斯基升力的科里奥利效应，以及由刚体运动和环量诱导的势流与无旋流所产生的相互作用项。

ABSTRACT

We consider the motion of several rigid bodies immersed in a two-dimensional incompress-ible perfect fluid, the whole system being bounded by an external impermeable fixed boundary. The fluid motion is described by the incompressible Euler equations and the motion of the rigid bodies is given by Newton's laws with forces due to the fluid pressure. We prove that, for smooth solutions, Newton's equations can be recast as a second-order ODE for the degrees of freedom of the rigid bodies with coefficients depending on the fluid vorticity and on the circulations around the bodies, but not anymore on the fluid pressure. This reformulation highlights geodesic aspects linked to the added mass effect, gyroscopic features generalizing the Kutta-Joukowski-type lift force, including body-body interactions through the potential flows induced by the bodies' motions, body-body interactions through the irrotational flows induced by the bodies' circulations, and interactions between the bodies and the fluid vorticity.

研究动机与目标

• 推导二维不可压缩理想流体中多个刚体的简化动力系统，消除对流体压力的显式依赖。
• 表征流体涡度以及刚体周围环量对刚体动力学的影响。
• 揭示几何结构，如由于附加质量引起的测地线运动和广义升力力（即科里奥利力）的出现。
• 分析由运动和环量诱导的势流与无旋流所介导的刚体之间的相互作用。
• 为光滑解建立流体-固体耦合系统的数学严格常微分方程形式。

提出的方法

• 通过不可压缩欧拉方程并结合流体域与固体边界上的不可穿透边界条件来描述流体运动。
• 利用牛顿定律建模固体运动，其中作用力由固体边界上的流体压力导出。
• 应用形状微分与流函数技术，计算流体速度场关于固体位置和方位的形状导数。
• 利用调和函数及涉及流函数法向与切向导数的边界积分，推导简化常微分方程中的系数表达式。
• 运用雷诺输运定理与分部积分，将环量常数的变化与流体速度导数关联起来。
• 将牛顿方程重新表述为二阶常微分方程，其中系数仅依赖于流体涡度和环量，而不依赖于压力。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将二维不可压缩流体中刚体的牛顿运动方程重新表述为不显式依赖于流体压力的二阶常微分方程？
• RQ2 流体涡度和刚体周围的环量如何影响简化系统中有效质量和科里奥利力？
• RQ3 在流固耦合中，哪些几何结构（如测地线运动或广义升力力）会显现出来？
• RQ4 刚体之间的相互作用如何通过由其运动和环量诱导的势流与无旋流产生？
• RQ5 调和函数的形状导数在表征流体对固体运动响应方面起到什么作用？

主要发现

• 流体压力从运动方程中被消除，系统被重新表述为关于刚体自由度的二阶常微分方程。
• 常微分方程中的系数显式依赖于流体涡度和刚体周围的环量，而不依赖于压力场。
• 由于附加质量效应，动力学表现出测地线结构，其来源于势流模态中流体的动能。
• 出现的科里奥利力广义化了经典的库塔-儒可夫斯基升力，其大小取决于环量和刚体之间的相对运动。
• 刚体之间的相互作用通过每个刚体运动诱导的势流与由其环量诱导的无旋流之间的相互影响来编码。
• 流函数的形状导数以涉及流函数法向导数和固体边界速度的边界积分形式表达。