[论文解读] Edges vs Circuits: a Hierarchy of Diameters in Polyhedra

Steffen Borgwardt, Jesús A. De Loera+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文提出了一种多面体直径概念的分层框架，通过结合基于边方向和环路步长的日益灵活的路径，推广了经典的图直径和环路直径。主要贡献是在二维情况下对这一层次结构进行了完整表征，表明其坍缩为有限多个不同的直径类型，并明确确定了可实现的取值范围。

ABSTRACT

The study of the graph diameter of polytopes is a classical open problem in polyhedral geometry and the theory of linear optimization. In this paper we continue the investigation initiated in [4] by introducing a vast hierarchy of generalizations to the notion of graph diameter. This hierarchy provides some interesting lower bounds for the usual graph diameter. After explaining the structure of the hierarchy and discussing these bounds, we focus on clearly explaining the differences and similarities among the many diameter notions of our hierarchy. Finally, we fully characterize the hierarchy in dimension two. It collapses into fewer categories, for which we exhibit the ranges of values that can be realized as diameters.

研究动机与目标

• 将多面体直径的概念从经典图直径扩展，引入一种结构化的广义直径概念层次结构。
• 研究这些广义直径之间的相互关系，以及与经典图直径和环路直径的关系。
• 利用新层次结构为标准图直径提供下界。
• 在二维多面体中完全表征该层次结构，识别出不同的直径类型及其可实现的取值范围。

提出的方法

• 通过定义基于逐步包含更多方向向量集合的行走路径的直径概念，构建该层次结构，起点为边，逐步扩展至环路。
• 环路由矩阵 A 的核中支持最小的向量定义，经归一化后具有互质的整数分量，代表多面体的基本边方向。
• 论文利用矩阵 (A|B) 的结构定义环路集合，并将其与线性依赖的拟阵联系起来。
• 引入一族直径度量，记为 CD^k_{fm(b)(r)}，基于使用具有特定支撑和归一化约束的环路步长的行走路径。
• 分析利用了二维多面体的几何与组合性质，包括正多边形和具有有理顶点的凸多边形。
• 在二维情况下的表征依赖于对顶点序列和边/环路行走路径的分析，特别是在对称和正多边形结构（如边数为偶数的多边形）中的情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于边、环路和中间方向集合的不同广义直径概念，在其取值和相互关系方面如何比较？
• RQ2 从该层次结构中可导出的图直径的最紧致下界是什么？
• RQ3 在二维情况下，该层次结构中存在多少种不同的直径度量类型，它们能实现哪些取值？
• RQ4 该层次结构能否在低维情况下（特别是二维）被完全表征？

主要发现

• 在二维情况下，直径概念的层次结构坍缩为有限多个不同的类别，与高维情况相比结构显著简化。
• 对于边数为偶数的正 k 边形，CD^2_{fm(b)(r)} 度量下的直径恰好为 2，表明基于环路的行走路径可实现最优路径。
• 本文完全表征了二维多面体中该层次结构内每类直径的可实现取值集合，表明特定区间内的所有整数均可实现。
• 经典图直径在层次结构中所有概念中最大，而环路直径和中间概念则提供了逐步更紧致的下界。
• 该层次结构揭示了直径取值的严格排序：图直径 ≥ 环路直径 ≥ 所有中间概念，且在特殊情况下可取等。
• 分析结果证实，对于二维多面体，该层次结构中不同直径类型的数量是有限的，且可显式计算。