[论文解读] Editing to a Connected Graph of Given Degrees

Petr A. Golovach|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2013

Scheduling and Optimization Algorithms参考文献 5被引用 11

一句话总结

本文研究了通过至多 k 次边添加或删除操作，将图编辑为具有指定顶点度数的连通图的参数化复杂度。对于一般情况，提出了大小为 $O(kd^3(k+d)^2)$ 的多项式核；对于 d-正则图的特殊情况，当仅以 $k$ 为参数时，证明了固定参数可追踪性。

ABSTRACT

The aim of edge editing or modification problems is to change a given graph by adding and deleting of a small number of edges in order to satisfy a certain property. We consider the Edge Editing to a Connected Graph of Given Degrees problem that asks for a graph G, non-negative integers d,k and a function δ:V(G)->{1,...,d}, whether it is possible to obtain a connected graph G' from G such that the degree of v is δ(v) for any vertex v by at most k edge editing operations. As the problem is NP-complete even if δ(v)=2, we are interested in the parameterized complexity and show that Edge Editing to a Connected Graph of Given Degrees admits a polynomial kernel when parameterized by d+k. For the special case δ(v)=d, i.e., when the aim is to obtain a connected d-regular graph, the problem is shown to be fixed parameter tractable when parameterized by k only.

研究动机与目标

• 研究通过最少的边修改操作将图转换为具有指定顶点度数的连通图的计算复杂度。
• 探究在增加连通性约束的条件下，该问题是否仍保持可追踪性。
• 确定在同时满足度数指定与连通性约束下，边编辑问题的参数化复杂度。
• 探索当以 $k$ 和 $d$ 为参数时，该问题是否 admits 多项式核，以及当仅以 $k$ 为参数时，是否变为固定参数可追踪。
• 考察 $d$-正则图的特殊情况，确定其仅以 $k$ 为参数时的参数化复杂度。

提出的方法

• 通过核化技术将问题规约为有界大小的实例，重点关注度数偏离目标值的顶点及其邻域。
• 构建一个辅助图 $F$ 来建模潜在的边修改操作，根据度数偏差和连通性要求分配权重。
• 通过在 $F$ 中计算最小权完美匹配，识别满足度数约束的最优边添加/删除集合。
• 应用动态构造过程（第6步），通过保留共享顶点间的路径，维持修改后各连通分量之间的连通性。
• 利用归纳不变式确保在整个迭代修改过程中连通性得以保持。
• 利用图论中关于匹配与连通性的已知结果，限制候选解的数量，并确保多项式时间可解性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当以 $d + k$ 为参数时，边编辑为具有指定度数的连通图问题是否 admits 多项式核？
• RQ2 对于 $d$-正则图的特殊情况，当仅以 $k$ 为参数时，该问题是否固定参数可追踪？
• RQ3 核大小能否改进为仅依赖于 $k$，而与 $d$ 无关？
• RQ4 当度数约束放宽为区间 $\delta(v) \subseteq \{1,\dots,d\}$ 时，该问题的参数化复杂度如何？
• RQ5 该方法能否扩展以处理带权边编辑问题，其时间复杂度结果如何？

主要发现

• 当以 $d + k$ 为参数时，边编辑为具有指定度数的连通图问题 admits 大小为 $O(kd^3(k+d)^2)$ 的多项式核。
• 对于所有 $v$ 满足 $\delta(v) = d$ 的特殊情况，当仅以 $k$ 为参数时，该问题固定参数可追踪。
• 该算法通过计算辅助图 $F$ 中的最小权完美匹配来构造解，确保同时满足度数与连通性约束。
• 解的正确性依赖于一个归纳论证，该论证通过保持修改后各连通分量间的连通性，确保同一分量内的任意两个顶点在修改后仍保持连通。
• 整体算法的时间复杂度为 $O^*(k^{O(k^3)})$，对于 $k$ 的小值具有较高的效率。
• 本文未解决的问题是：在一般情况或正则图情况下，是否存在仅依赖于 $k$ 的多项式核。