[论文解读] Effect of the shape of periodic forces and second periodic forces on horseshoe chaos in Duffing oscillator

V. Ravichandran, V. Chinnathambi+2 more|ArXiv.org|Aug 4, 2008

Chaos control and synchronization参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文利用Melnikov方法研究了不同周期性力波形（正弦、方波、锯齿波、全波整流正弦波、正弦函数的绝对值）对Duffing振子中马蹄混沌的影响。通过解析推导混沌 onset 的阈值条件，表明即使Melnikov函数符号不变，引入第二个周期性力仍可抑制混沌，数值模拟结果验证了这些预测在多种力类型下的有效性。

ABSTRACT

The effect of the shape of six different periodic forces and second periodic forces on the onset of horseshoe chaos are studied both analytically and numerically in a Duffing oscillator. The external periodic forces considered are sine wave, square wave, symmetric saw-tooth wave, asymmetric saw-tooth wave, rectified sine wave, and modulus of sine wave. An analytical threshold condition for the onset of horseshoe chaos is obtained in the Duffing oscillator driven by various periodic forces using the Melnikov method. Melnikov threshold curve is drawn in a parameter space. For all the forces except modulus of sine wave, the onset of cross-well asymptotic chaos is observed just above the Melnikov threshold curve for onset of horseshoe chaos. For the modulus of sine wave long time transient motion followed by a periodic attractor is realized. The possibility of controlling of horseshoe and asymptotic chaos in the Duffing oscillator by an addition of second periodic force is then analyzed. Parametric regimes where suppression of horseshoe chaos occurs are predicted. Analytical prediction is demonstrated through direct numerical simulations. Starting from asymptotic chaos we show the recovery of periodic motion for a range of values of amplitude and phase of the second periodic force. Interestingly, suppression of chaos is found in the parametric regimes where the Melnikov function does not change sign.

研究动机与目标

• 分析六种不同周期性力波形对Duffing振子中马蹄混沌的影响。
• 针对每种力类型，利用Melnikov方法推导马蹄混沌的解析阈值条件。
• 研究通过第二个周期性力对马蹄混沌和渐近混沌的抑制效应。
• 通过直接数值模拟验证解析预测。
• 探索在Melnikov函数符号不变但混沌仍被抑制的参数区域。

提出的方法

• 应用Melnikov方法计算Duffing振子在不同周期性力作用下同宿轨道的Melnikov函数。
• 针对每种力类型，在(f-ω)参数空间中推导解析的Melnikov阈值曲线。
• 通过数值计算确定横截同宿交叉发生的临界力振幅，以指示马蹄混沌。
• 利用分岔图和最大Lyapunov指数验证混沌的 onset 与抑制。
• 引入一个可调幅值与相位的第二个周期性力，以研究混沌抑制效应。
• 识别出Melnikov函数符号不变但混沌仍被抑制的参数区域，并通过数值模拟加以确认。

实验结果

研究问题

• RQ1 不同周期性力波形（正弦、方波、锯齿波、全波整流正弦波、正弦函数的绝对值）如何影响Duffing振子中马蹄混沌的 onset？
• RQ2 Melnikov方法能否准确预测非正弦周期性力驱动系统中马蹄混沌的阈值？
• RQ3 在Duffing振子中，引入第二个周期性力对马蹄混沌和渐近混沌的抑制效应如何？
• RQ4 是否存在Melnikov函数符号不变但混沌仍被抑制的参数区域？
• RQ5 在混沌阈值附近，正弦函数绝对值波形的瞬态动力学与其它周期性力相比有何不同？

主要发现

• 除正弦函数的绝对值波形外，所有周期性力在Melnikov阈值曲线之上均出现横截同宿交叉及马蹄混沌。
• 对于正弦函数的绝对值波形，靠近Melnikov阈值时观察到长时间瞬态运动后进入周期吸引子，而非渐近混沌。
• 所有力类型下，Melnikov方法对混沌 onset 的解析预测与数值模拟结果高度一致。
• 通过调节第二个周期性力的幅值与相位，可在Melnikov函数符号不变的区域实现马蹄混沌的抑制。
• 分岔图与Lyapunov指数结果证实，当第二个力以合适幅值与相位施加时，混沌状态可恢复为周期运动。
• 已识别并数值验证了混沌抑制的参数区域，尤其在双正弦或双正弦绝对值波形驱动系统中表现显著。