[论文解读] Effective Cartan-Tanaka connections on C6-smooth strongly pseudoconvex hypersurfaces M3 of C2

Mansour Aghasi, Joël Merker+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2011

Holomorphic and Operator Theory参考文献 27被引用 7

一句话总结

该论文通过显式计算直到长度6的内在向量场的迭代李括号，推导出定义函数ϕ的喷层中的微分多项式关系，并证明这些关系唯一确定了一个取值于8维分次李代数的Cartan-Tanaka联络，该代数微分同构于Heisenberg球面H³上的全纯向量场，从而为C⁶光滑、强拟凸的实超曲面M³ ⊂ ℂ²构造了一个有效、正规且正则的Cartan-Tanaka联络。

ABSTRACT

In a recent expository article (Notices of the AMS, 58 (2011), no. 1, 20-27), Ezhov, McLaughlin and Schmalz showed how to perform in an effective way Tanaka's prolongation procedure valid generally for filtered structures of constant type when the distribution is equipped with an integrable complex structure, so as to derive the principal curvature invariants and (co)frame(s) associated to strongly pseudoconvex real hypersurfaces M3 in C2, an approach which is alternative and complementary to the `hyperspherical' connection of Elie Cartan, and to the so-called calculi of Fefferman, of Chern-Moser, of Webster. By choosing an initial frame for TM which is explicit in terms of a local graphing function v = f(x, y, u) for M, we provide a Cartan-Tanaka connection all elements of which are completely explicit in terms of f(x, y, u), assuming only C6-smoothness of M. The Gaussian requirement for systematic computational effectiveness then shows - a bit unexpectedly - that the two main curvatures are rational differential expressions in the sixth-order jet of f(x, y, u), the lengths of which are about 1000 pages long on a computer - just for the simplest instance of local embedded CR geometry. Large parts of the memoir aim at formulating general statements that will be useful for further constructions of Cartan-Tanaka connections related to the equivalence problem for (local) embedded CR manifolds whose CR-automorphism group is not semi-simple, cf. e.g. some model lists by Beloshapka.

研究动机与目标

• 为C⁶光滑、强拟凸的实超曲面M³ ⊂ ℂ²建立一个有效、正规且正则的Cartan联络。
• 以图函数ϕ及其喷层表示，给出内在向量场的迭代李括号直到长度6的显式公式。
• 推导出ϕ的4阶、5阶和6阶喷层中的微分多项式恒等式，以约束Cartan联络的结构。
• 证明模型Heisenberg球面H³ ⊂ ℂ²实现了最大对称代数，可作为联络的参考基准。
• 证明Cartan联络通过到主丛M³ × H⁵的典范提升，唯一由M³的几何结构确定。

提出的方法

• 利用图函数ϕ(x,y,u) = x² + y² + O(3)定义生成复切丛TᶜM的内在向量场H₁, H₂。
• 计算类Levi型括号T = 1/4[H₁, H₂]，并将其表示为(Υ/4∆²)∂/∂u的形式，其中Υ是ϕ及其导数的C⁴光滑函数。
• 引入函数Φᵢ = Aᵢ/(∆²Υ)，使得[Hᵢ, T] = ΦᵢT，并递归计算直到长度6的高阶迭代括号。
• 推导出Φᵢ的迭代导数的分子Aᵢ, Aᵢ,ₖ₁, Aᵢ,ₖ₁,ₖ₂, Aᵢ,ₖ₁,ₖ₂,ₖ₃关于ϕ的6阶喷层的归纳公式。
• 建立四个三阶微分恒等式，以确保括号结构的一致性。
• 在主丛P = M³ × H⁵上构造取值于8维李代数g的Cartan联络ω: TP → g，其中g微分同构于hol(H³)。

实验结果

研究问题

• RQ1 在C⁶强拟凸M³ ⊂ ℂ²上，图函数ϕ的4阶、5阶和6阶喷层中，确保Cartan-Tanaka联络存在的显式微分多项式约束是什么？
• RQ2 内在向量场H₁, H₂, T的迭代李括号直到长度6如何决定Cartan联络的结构？
• RQ3 Cartan联络ω: TP → g的精确形式是什么？它如何与M³的几何结构唯一关联？
• RQ4 Heisenberg李代数的第二上同调所施加的上同调约束如何与联络的可积性及唯一性相关？
• RQ5 模型Heisenberg球面H³在多大程度上可作为所有此类M³上Cartan联络的通用模型？

主要发现

• 函数Φᵢ = Aᵢ/(∆²Υ)满足恒等式H₂(Φ₁) ≡ H₁(Φ₂)，确保直到长度3的括号结构一致。
• 四个三阶微分恒等式被Φᵢ的迭代导数恒等满足，这是正则Cartan联络存在的必要条件。
• Cartan联络ω: TP → g唯一关联于任意C⁶强拟凸M³ ⊂ ℂ²，取值于与hol(H³)微分同构的8维分次李代数。
• 该联络是有效、正规且正则的，主丛为P = M³ × H⁵，其中H⁵是与仿射代数hol(H³, 0)对应的单连通5维李群。
• 李代数g的结构常数与Heisenberg球面H³上全纯向量场的结构常数完全匹配，证实了H³的模型性质。
• 通过一般公式计算了分次李代数的第二上同调，并利用δ-算子与结构常数推导出基本2-链的边界，得到满足闭链条件的线性方程组。