[论文解读] Efficient discontinuous Galerkin finite element methods via Bernstein polynomials

Robert C. Kirby|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文提出一种基于伯恩斯坦多项式作为局部形状函数的高效间断伽辽金（DG）有限元方法，用于双曲守恒律。通过利用单元质量矩阵的递归块结构，作者开发了一种求解质量矩阵相关线性系统的最优复杂度算法，实现 O(n^{d+1}) 的复杂度，并在多项式次数高达十次时保持高精度。

ABSTRACT

We consider the discontinuous Galerkin method for hyperbolic conservation laws, with some particular attention to the linear acoustic equation, using Bernstein polynomials as local bases. Adapting existing techniques leads to optimal-complexity computation of the element and boundary flux terms. The element mass matrix, however, requires special care. In particular, we give an explicit formula for its eigenvalues and exact characterization of the eigenspaces in terms of the Bernstein representation of orthogonal polynomials. We also show a fast algorithm for solving linear systems involving the element mass matrix to preserve the overall complexity of the DG method. Finally, we present numerical results investigating the accuracy of the mass inversion algorithms and the scaling of total run-time for the function evaluation needed in DG time-stepping.

研究动机与目标

• 解决高阶间断伽辽金（DG）方法在双曲守恒律中密集单元质量矩阵求逆的计算瓶颈问题。
• 利用伯恩斯坦多项式的几何与代数结构，实现DG项（包括质量矩阵）的最优复杂度计算。
• 开发一种快速且精确的算法，用于求解单元质量矩阵的线性系统，同时保持整体 O(n^{d+1}) 的复杂度。
• 研究质量矩阵求逆技术在实际DG时间推进场景中的精度与性能表现。
• 通过采用具有最优算法复杂度的无网格离散化基，弥合基于张量结构的方法与基于节点的DG方法之间的差距。

提出的方法

• 在单纯形单元上使用伯恩斯坦多项式作为局部有限元基，利用其维数递归的块结构。
• 应用Kirby（2011）提出的递归块结构，设计一种针对常系数质量矩阵的 O(n^{d+1}) 算法以求解线性系统。
• 通过正交多项式的伯恩斯坦表示，表征质量矩阵的特征值与特征空间。
• 采用分块Cholesky分解策略，递归地在二维和三维中使用低维Cholesky分解。
• 使用共轭梯度求解器，固定迭代次数为 (n+1)，并与Cholesky方法在精度和收敛性方面进行比较。
• 使用Cython与DOLFIN实现高性能代码，并在结构化网格上进行计时测量。

实验结果

研究问题

• RQ1 伯恩斯坦多项式能否实现双曲守恒律下DG项（包括质量矩阵求逆）的最优复杂度计算？
• RQ2 与直接Cholesky分解相比，分块因子分解算法在求解DG质量矩阵线性系统时的精度如何？
• RQ3 在实际网格与多项式次数下，基于伯恩斯坦多项式的求解器在DG函数评估中的实际运行时间扩展特性如何？
• RQ4 共轭梯度方法在固定迭代次数 (n+1) 的情况下，能否在高阶DG模拟中达到足够的精度？
• RQ5 质量矩阵的递归块结构在多大程度上允许实现高性能、低复杂度的DG求解器，同时不牺牲精度？

主要发现

• 所提出的分块因子分解算法在相对精度上与Cholesky分解相当，对于多项式次数高达十次的情况，精度保持在至少十位有效数字。
• 采用相对残差容差为 10^{-12} 的共轭梯度求解器，在一维、二维和三维空间中均实现了接近十位有效数字的精度。
• 当严格限制为恰好 (n+1) 次迭代时，共轭梯度方法的精度显著下降，尤其在高次多项式情况下更为明显。
• 计时结果表明，在32×32网格上，DG函数评估的运行时间斜率约为1.7，表明其性能优于二维情况下的理论 O(n^3) 复杂度预期。
• 该分块算法在保持高精度的同时降低了实现复杂度，与完整Cholesky因子分解相比仅造成微小精度损失。
• 当前算法在复杂度上已达最优，但实现仍较复杂，尚未完全针对高性能硬件进行调优，表明仍有进一步优化空间。