[论文解读] Efficient integration of gradient flow in lattice gauge theory and properties of low-storage commutator-free Lie group methods

Alexei Bazavov, Thomas Chuna|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2021

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 33被引用 10

一句话总结

本论文提出了一种针对格点规范场论中梯度流积分的优化低存储量无交换子李群积分器，通过利用经典2N存储量龙格-库塔方法与几何积分器之间的联系，实现了高效计算。结果表明，经过调优的三阶方法和新构建的四阶方法在仅需极少代码修改的情况下显著提升了计算效率，并实现了尺度设定的亚百分之一精度。

ABSTRACT

The smoothing procedure known as the gradient flow that suppresses ultraviolet fluctuations of gauge fields plays an important role in lattice gauge theory calculations. In particular, this procedure is often used for high-precision scale setting and renormalization of operators. The gradient flow equation is defined on the SU(3) manifold and therefore requires geometric, or structure-preserving, integration methods to obtain its numerical solutions. We examine the properties and origins of the three-stage third-order explicit Runge-Kutta Lie group integrator commonly used in the lattice gauge theory community, demonstrate its relation to 2N-storage classical Runge-Kutta methods and explore how its coefficients can be tuned for optimal performance in integrating the gradient flow. We also compare the performance of the tuned method with two third-order variable step size methods. Next, based on the recently established connection between low-storage Lie group integrators and classical 2N-storage Runge-Kutta methods, we study two fourth-order low-storage methods that provide a computationally efficient alternative to the commonly used third-order method while retaining the convenient iterative property of the latter. Finally, we demonstrate that almost no coding effort is needed to implement the low-storage Lie group methods into existing gradient flow codes.

研究动机与目标

• 通过在SU(3)流形上优化梯度流积分，提升格点规范场论中的计算效率。
• 探索低存储量经典龙格-库塔方法与无交换子李群积分器之间的联系。
• 开发并基准测试更高阶（四阶）的低存储量李群方法，作为广泛使用的三阶方案的高效替代方案。
• 证明将这些方法集成到现有梯度流代码中几乎无需额外编码工作。

提出的方法

• 利用经典2N存储量显式龙格-库塔方法与无交换子李群积分器之间的已知联系，推导出在SU(3)上的几何积分系数。
• 对标准三阶段三阶李群积分器（LSCFRK3W6）的系数进行调优，以实现梯度流积分中的最优性能。
• 基于相同的2N存储框架，构建两种新的四阶低存储量李群方法，保持迭代结构与计算效率。
• 使用Mathematica脚本从给定的c2和c3参数计算系数，实现对解空间的系统性探索。
• 在三个格点组态上，将调优后的三阶与四阶方法与可变步长三阶方案进行性能比较。
• 通过使用威尔逊和西曼尼克规范作用量对梯度流方程进行数值积分，验证了方法的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对常用三阶段三阶李群积分器的系数进行优化，以在梯度流积分中获得更优性能？
• RQ2 在经典2N存储量龙格-库塔方法的背景下，LSCFRK3W6方法的起源与结构是什么？
• RQ3 能否构建出保持三阶方法效率与迭代特性的四阶低存储量李群积分器？
• RQ4 调优后的三阶方法与新构建的四阶方法在性能与精度上相较于现有可变步长三阶方法表现如何？
• RQ5 低存储量李群积分器在多大程度上可仅通过极少实现工作量无缝集成到现有梯度流代码中？

主要发现

• 标准三阶段三阶李群积分器（LSCFRK3W6）被证明是源自经典2N存储量龙格-库塔方案的低存储量无交换子李群方法。
• 对LSCFRK3W6的系数进行了优化，使其在格点组态上的梯度流积分中实现了更高的效率与精度。
• 成功构建了两种新的四阶低存储量李群方法，其在保持与三阶方法相同存储量与迭代结构的同时，提供了更高阶的精度。
• 数值结果表明，调优后的三阶方法在效率与精度上均优于标准可变步长三阶方法。
• 将低存储量李群方法集成到现有梯度流代码中几乎无需额外编码工作，可实现无缝集成。
• 经典2N存储量龙格-库塔方法与李群积分器之间的联系得到验证并被有效利用，从而生成了适用于格点规范场论的新一代高效积分器。