[论文解读] Efficient multistep methods for tempered fractional calculus: Algorithms and Simulations

Ling Guo, Fanhai Zeng+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2018

Fractional Differential Equations Solutions被引用 14

一句话总结

本论文提出两种快速、内存高效的多步法——快速方法 I 和快速方法 II——用于求解基于生成函数导出的卷积 quadrature 权重的温和分数阶微分方程。快速方法 II 基于实轴上的均匀梯形逼近，相较于快速方法 I，在精度、效率和编码简洁性方面表现更优，具有 $O(Q)$ 的内存占用和 $O(Qn_T)$ 的计算成本，通过长时间的分数阶反应-扩散模型模拟（包括 Brusselator 系统）得到验证。

ABSTRACT

In this work, we extend the fractional linear multistep methods in [C. Lubich, SIAM J. Math. Anal., 17 (1986), pp.704--719] to the tempered fractional integral and derivative operators in the sense that the tempered fractional derivative operator is interpreted in terms of the Hadamard finite-part integral. We develop two fast methods, Fast Method I and Fast Method II, with linear complexity to calculate the discrete convolution for the approximation of the (tempered) fractional operator. Fast Method I is based on a local approximation for the contour integral that represents the convolution weight. Fast Method II is based on a globally uniform approximation of the trapezoidal rule for the integral on the real line. Both methods are efficient, but numerical experimentation reveals that Fast Method II outperforms Fast Method I in terms of accuracy, efficiency, and coding simplicity. The memory requirement and computational cost of Fast Method II are $O(Q)$ and $O(Qn_T)$, respectively, where $n_T$ is the number of the final time steps and $Q$ is the number of quadrature points used in the trapezoidal rule. The effectiveness of the fast methods is verified through a series of numerical examples for long-time integration, including a numerical study of a fractional reaction-diffusion model.

研究动机与目标

• 开发用于求解异常扩散过程中出现的温和分数阶微分方程的高效且节省内存的数值方法。
• 通过 Hadamard 有限部分积分的解释，将 Lubich 的分数阶线性多步法扩展至温和分数阶积分与微分算子。
• 设计快速算法，将离散卷积的计算成本从 $O(n_T^2)$ 降低至 $O(Qn_T)$，内存占用从 $O(n_T)$ 降低至 $O(Q)$。
• 在精度、效率和实现复杂度方面，比较两种新型快速方法——快速方法 I（基于围线积分）和快速方法 II（基于实轴梯形积分）的性能。
• 通过分数阶反应-扩散模型的长时间模拟验证方法，包括分数阶 Brusselator 模型和激活剂-抑制剂系统。

提出的方法

• 将温和分数阶导数解释为 Hadamard 有限部分积分，从而可直接将 Lubich 的分数阶线性多步法（FLMMs）扩展至温和算子。
• 卷积权重 $\omega^{(\alpha,\sigma)}_n$ 由生成函数导出，并表示为积分形式：快速方法 I 使用复平面上的围线积分，而快速方法 II 使用实轴上的积分。
• 快速方法 I 对每个 $n$ 应用局部围线求积（如 Talbot 或双曲法）来近似围线积分，需使用复数运算，并求解具有潜在不稳定系数的常微分方程。
• 快速方法 II 在实轴上采用全局均匀梯形规则逼近，可实现稳定递推关系，且仅使用实数运算。
• 该方法利用 quadrature 的指数和逼近，实现时间步长上的线性复杂度，其中 $Q$ 个 quadrature 点决定了精度与计算成本。
• 数值模拟采用分数阶 Brusselator 模型和 Gierer–Meinhardt 模型，通过多种初始条件测试长时间稳定性与精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 Hadamard 有限部分积分解释，有效将 Lubich 的分数阶线性多步法扩展至温和分数阶微分计算？
• RQ2 如何以线性复杂度和降低的内存占用，高效计算温和分数阶算子的离散卷积？
• RQ3 在精度、稳定性与实现复杂度方面，基于围线的方法（快速方法 I）与基于实轴梯形法的方法（快速方法 II）相比，各自的优缺点是什么？
• RQ4 快速方法 II 是否在计算成本、舍入误差和编码简洁性方面优于快速方法 I？
• RQ5 所提出的快速方法在分数阶反应-扩散模型（如 Brusselator 和激活剂-抑制剂系统）的长时间模拟中表现如何？

主要发现

• 快速方法 II 实现了 $O(Q)$ 的内存占用和 $O(Qn_T)$ 的计算成本，显著降低了直接计算的 $O(n_T^2)$ 成本。
• 对于分数阶 Brusselator 模型，快速解与直接解之间的最大差异低于 $10^{-9}$，表明在使用 256 个 quadrature 点时具有高精度。
• 在长时间模拟中，快速方法耗时约 4000 秒（约 1 小时），而直接方法需约 87,000 秒（约 1 天零 2 小时），实现了约 20 倍的加速。
• 快速方法 II 因采用稳定实数运算和均匀逼近，在精度、效率和实现简洁性方面优于快速方法 I。
• 快速方法 II 中使用稳定递推关系，避免了快速方法 I 中因常微分方程求解系数具有正实部而引发的不稳定性问题。
• 数值结果证实，快速方法 II 对分数阶 PDE 的长时间积分具有鲁棒性和高精度，包括分数阶 Brusselator 和 Gierer–Meinhardt 模型。